Demostrar que .

Question

Estoy tratando de calcular el grupo de Galois del polinomio $f=X^4-2X^2+2$. $f$ es de Eisenstein con $p=2$, de modo irreductible más de $\mathbf{Q}$. He calculado los ceros a ser $\alpha_1=\sqrt{1+i},\alpha_2=\sqrt{1-i},\alpha_3=-\alpha_1$ e $\alpha_4=-\alpha_2$. Deje $\Omega_f=\mathbf{Q}(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\mathbf{Q}(\alpha_1,\alpha_2)$ ser una división de campo de la $f$ sobre $\mathbf{Q}$. Desde $\alpha_1\alpha_2=\sqrt{1+i}\sqrt{1-i}=\sqrt{2}$, tenemos $\Omega_f=\mathbf{Q}(\sqrt{1+i},\sqrt{2})$.

Así que si podemos demostrar que $[\Omega_f:\mathbf{Q}]=8$, luego tenemos a $\#\operatorname{Gal} (f)=8$ e de $\operatorname{Gal}(f)\subset S_4$, debemos tener es isomorfo al grupo diedro $D_4$.

Cómo hago para que prueben $[\mathbf{Q}(\sqrt{1+i},\sqrt{2})]=8$?

Answer 1

Usted ha demostrado que su división de campo de la es $K=\mathbf Q(\sqrt {1+i}, \sqrt {1-i})$. Los dos campos de $\mathbf Q(\sqrt {1\pm i})$ son obviamente cuadrática extensiones de $\mathbf Q(i)$, y estos son iguales iff $(1+i)(1-i)=2$ es un cuadrado en $\mathbf Q(i)$, iff $\sqrt 2\in \mathbf Q(i)$: imposible. Por lo tanto $K$ es un biquadratic extensión de $\mathbf Q(i)$, e $[K:\mathbf Q]=8$.

Answer 2

En las torres.

Un vistazo a las dos extensiones $\mathbb Q ( \sqrt {1+i} )|_{Q(i)} $ e $\mathbb Q ( \sqrt {1-i} )|_{Q(i)} $.

Cada uno tiene un grado $2$ ( desde $1+i$ e $1-i$ son primos en $\mathbb Z[i] $ que es un UFD ).

Su compositum es el campo en el que usted está interesado en decir $ \mathbb Q (\sqrt {1+i} , \sqrt {1-i} )$

En este punto usted puede echar un vistazo a la cuestión de Encontrar el grado de un campo finito de extensión

Espero que hayan visto la similitud.

Usted tiene un UFD $\mathbb Z[i]$ , es el campo de fracciones de $\mathbb Q(i)$ y se han adherido a las raíces cuadradas de dos números primos $1+i , 1-i$.

Por un argumento similar como en la pregunta anterior, podemos argumentar que el grupo de Galois es de la forma $\mathbb Z_2 ^k$ con $k\leq 2$.

Pero luego tienes $3$ distinto grado $2$ subextensions $\mathbb Q(\sqrt {1+i}), \mathbb Q(\sqrt {1-i}) , \mathbb Q(\sqrt {2}) $

Esto le da a usted $k\geq 2$ Así que el resultado es $$\mathbb Q(\sqrt {1+i}, \sqrt 2): \mathbb Q(i)=4$$

Y la conclusión de la siguiente manera.