Independencia algebraica topológica de series de potencias.

Question

Deje $p$ ser un número primo, vamos a $x$ ser una variable, y considera dos de alimentación de la serie sobre el ring $\mathbb{Z}_p$ de $p$-ádico enteros:

$a(x):=\underset{n\geq 1}{\sum}{\frac{p^n}{n!}x^n}=px+\frac{p^2}{2}x^2+\frac{p^3}{6}x^3+\cdots$

$b(x):=\underset{n\geq 1}{\sum}{\frac{p^n}{n!}x^{2n}}=px^2+\frac{p^2}{2}x^4+\frac{p^3}{6}x^6+\cdots$

Mi pregunta es, ¿podemos encontrar una potencia de la serie $0\neq f(u,v)\in\mathbb{Z}_p[[u,v]]$ con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$, de tal manera que $f(a,b)=0$, o en otras palabras, se $a(x)$ e $b(x)$ topológicamente algebraicamente independientes (TAI) a través de $\mathbb{Z}_p$?

Es que no es cierto que $a$ e $b$ son más de TAI $\mathbb{Q}_p$, de los cuales podemos observar simplemente por la elección de una secuencia de polinomios con coeficientes racionales que quitar sucesivamente más y más poderes de $x$. Por ejemplo:

$0=a(x)^2-pb(x)-pa(x)b(x)-\frac{(7p-12)p}{12}b(x)^2+\cdots$

De hecho, se puede aplicar el mismo argumento para decir que cualquier par distinto de univariante de alimentación de la serie sobre $\mathbb{Q}_p$ no más de TAI $\mathbb{Q}_p$.

Por desgracia, creo que no hay forma de asegurar que los coeficientes de este poder de la serie de mentira en $\mathbb{Z}_p$, o incluso que la serie se puede escalar por una potencia de $p$ , de modo que ellos.

Si alguien tiene alguna idea o sugerencia, yo estaría muy interesado en escuchar. Gracias.

Answer 1

Es tarde en la noche, y espero no llegar huevo toda mi cara aquí, en este argumento, adaptado a su caso en particular.

En primer lugar, voy a definir $\log(x)=-\sum_{n\ge1}(-x)^n/n=x-x^2/2+x^3/3-\cdots$ e $\exp(x)=\sum_{n\ge1}x^n/n!$, por lo que este registro y exp inverso de la potencia de la serie de cada uno de los otros, definido $\Bbb Q_p$.

Luego, su $a(x)$ es $\exp(px)$ e su $b(x)$ es $\exp(px^2)$, dos de ellos de aterrizaje en $\Bbb Z_p[[x]]$. Así se puede decir, tomando los registros, que $\log\bigl(a(x)\bigr)=px$ e $\log\bigl(b(x)\bigr)=px^2$, dando $$ \bigl(\log\bigl(a(x)\bigr)\bigr)^2=p\log\bigl(b(x)\bigr)\,, $$ un manifiesto de la declaración de topológico algebraica de la dependencia, pero con el $\Bbb Q_p$. Ahora, $a(x)$ e $b(x)$ tiene todos los coeficientes divisible por $p$, e $\log(px)\in\Bbb Z_p[[x]]$, por lo que la muestra de la serie en realidad ha $\Bbb Z_p$-coefficents.

Esta parece ser la que me decía que si tenía sólo pidió la topológico algebraica de la dependencia en $\Bbb Z_p$ de $A(x)$ e $B(x)$ donde $A(x)=a(x)/p$ e $B(x)=b(x)/p$, la tenemos. Pero yo no estoy viendo el resultado deseado en este punto.