En $\sum_{k=1}^n|\cot \sqrt2\pi k|$ tiende a $An\ln n$ como $n\to\infty$ ?

Question

Pregunta: ¿Cómo podemos demostrar que $$L(n)=\sum_{k=1}^n\left|\cot \sqrt2\pi k\right|=\Theta(n\log n)$$ como $n\to\infty$ ?
Además, si $\sqrt2$ se sustituye por un número irracional cuadrático, ¿se mantiene?

Experimento numérico .
Al trazar $$\frac1{n\ln n}\sum_{k=1}^n\left|\cot \sqrt2\pi k\right|,$$ podemos encontrar que tiende aproximadamente a $0.6$ .
(El siguiente gráfico se añade después de una edición)

Intento fallido del límite superior .
$$L(n)<\sum_{k=1}^nCk=C\frac{n(n+1)}2$$ para algunos $C$ . Se puede deducir fácilmente debido a la medida de irracionalidad $2$ de $\sqrt2$ .
Intento fallido del límite inferior .
Asintóticamente, la mitad del sumando es mayor que $1$ debido a la irracionalidad de $\sqrt2$ . Por lo tanto, $L(n)>Dn$ para algunos $D$ cuando $n$ es lo suficientemente grande.

Answer 1

Demostramos lo siguiente.

Teorema

Dejemos que $\theta$ sea un número irracional con cocientes parciales acotados, es decir, la expansión de fracción continua simple $\theta=[a_0;a_1,a_2,\cdots]=a_0+\frac1{a_1+\frac1{a_2+\cdots}}$ satisface $|a_i|\leq K$ para alguna constante absoluta $K>0$ . Entonces $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{n\log n}\sum_{k=1}^n |\cot \pi k \theta|=\frac 2{\pi}. $$

En primer lugar, necesitamos el lema bajo el supuesto de que $\theta$ es un número irracional con cocientes parciales acotados. Esto se demuestra por las propiedades básicas de la fracción continua simple.

Lema

Hay una constante $c=c(\theta)>0$ tal que $$ \left|\theta-\frac pq\right|\geq \frac 1{cq^2}. \ \ \ (1) $$

Dejemos que $D_N$ sea la discrepancia de la secuencia $(k\theta)$ la parte fraccionaria de $k\theta$ modulo $1$ es decir. $$ D_n:=\sup_{0\leq a\leq b\leq 1} \left|\frac1n \#\{1\leq k\leq n: (k\theta) \in (a,b) \} -(b-a)\right|. $$ Entonces una desigualdad importante para $D_n$ también es necesario. Este es el Teorema 3.4 en Kuipers & Niederreiter 'Distribución uniforme de secuencias'

Lema

Dejemos que $\theta=[a_0;a_1,a_2,\cdots]$ sea un número irracional con cocientes parciales acotados, digamos $|a_i|\leq K$ . Entonces $$ nD_n = O(\log n). \ \ \ (2) $$

También utilizamos el comentario de Greg Martin de la siguiente forma $$ |\cot \pi x|=\frac1{\pi\|x\|}+O(1).$$

Ahora, divide el intervalo $[0,1]$ en $h+2$ intervalos cortos para que $h+2\asymp \frac n{\log^2 n}$ y $$ \left[0,\frac{\log^2 n}n\right), \left[\frac{\log^2 n}n, \frac{2\log^2 n}n\right), \ldots, \left[\frac{h\log^2 n}n, \frac{(h+1)\log^2 n}n\right), \left[ \frac{(h+1)\log^2 n}n,1\right). $$ Porque estamos computando $\|k\theta\|$ Sólo necesitamos la primera mitad de estos intervalos.

Según (2), para cada $0\leq j\leq h$ el número $i_j(n)$ de elementos en la secuencia $(k\theta)$ que pertenece a $[(j\log^2 n)/n, ((j+1)\log^2 n)/n)$ , satisface $$ \left|i_j(n)- \log^2n \right|=O(\log n). $$ A partir de esto y de las estimaciones por los extremos de la derecha, obtenemos el límite inferior. \begin {align} \sum_ {k=1}^n | \cot \pi k \theta | &= \sum_ {k=1}^n \frac1 { \pi\ |k \theta\ |}+O(n) \\ & \geq \frac2 { \pi } \sum_ {1 \leq j \leq h/2} \frac n{j \log ^2 n} ( \log ^2 n + O( \log n)) +O(n) \\ & \geq \frac2 { \pi } n \log n + O(n \log\log n). \end {align}

Para el límite superior, necesitamos una estimación más precisa en el primer intervalo corto.

Si $0\leq p < q \leq n$ , el tenemos por (1),

$$ | (p\theta)-(q\theta)|\geq \frac 1{2cn}. \ \ \ (3) $$

Nos dividimos $[0, (\log^2 n)/n)$ en $t+2\asymp \log^2 n$ intervalos más cortos $$ \left[0,\frac1{2cn}\right), \left[\frac1{2cn},\frac2{2cn}\right), \ldots, \left[\frac t{2cn}, \frac{t+1}{2cn}\right), \left[ \frac{t+1}{2cn},\frac{\log^2n}n\right). $$ Por (3), cada intervalo contiene a lo sumo un número de la forma $(k\theta)$ , sin que dicho número se encuentre en el primer intervalo.

Entonces tenemos desde el punto final izquierdo estimaciones, \begin {align} \sum_ {k=1}^n | \cot \pi k \theta |&= \sum_ {k=1}^n \frac1 { \pi\ |k \theta\ |}+O(n) \\ & \leq \sum_ {j \leq 2c \log ^2 n} \frac {2cn}j + 2 \sum_ {j \leq 1+h/2} \frac n{j \log ^2 n}( \log ^2 n + O( \log n)) + O(n) \\ &= \frac 2{ \pi } n \log n + O(n \log\log n). \end {align} Por lo tanto, obtenemos $$ \sum_{k=1}^n |\cot \pi k \theta |=\frac2{\pi} n\log n+ O(n\log\log n). $$