Función por partes encontrar f 'y f "

Question

Supongamos que $$ f (x) = \ left \ {\begin{array}{cr} e^{-1/x^2} & x \neq 0\\ 0 & x = 0 \end {array} \ right. $$ Muestre que$f^\prime(0)$ existe y es igual a$0$, también verifique que$f^{\prime\prime}$ existe y es igual a$0$.

¿Resuelvo esto encontrando los límites del lado izquierdo y derecho de$f(x)$ como$x$ se acerca a$0$?

Answer 1

Podemos resolver este problema usando directamente la definición del derivado de la siguiente manera$$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$ implies $$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x}=0.$$ The same to $ f '' (0) $.

Answer 2

Tenga en cuenta si usted ha visto este límite de la definición de la derivada, hágamelo saber si usted me quiere explicar más.

Tenga en cuenta que $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$

Así que echemos un vistazo a $f'(0)$:

$$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{-1/x^2}}{x} $$

Ahora usted tiene que evaluar este límite correctamente y que el tal - desde otro chico respondió antes de que yo hace clic en enviar, voy a añadir un poco más de información:

Con el fin de evaluar el límite sugeriría el uso de la regla de L'Hôpital. Por esta regla sabemos

$$ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

dado que el $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ o $\pm \infty$ $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe donde $g'(x) \neq 0 \; \forall \; x \neq 0$.

Parece que tu límite sigue estas condiciones, por lo que aparece, usted puede utilizar este teorema.