Supongamos que $X$ $Y$ son suaves variedades sobre un campo $k$ (no necesariamente algebraicamente cerrado), de dimensión$m$$n$. Supongamos que tenemos un morfismos $\pi:X\rightarrow Y$.
Sabemos que si $\pi$ es suave, es plana (por definición) y todas las fibras son suaves, de dimensión $m-n$.
Bajo estos supuestos:
- si todos los (geométrica) de las fibras son suaves, de dimensión $m-n$, no se sigue que la $\pi$ plano (y, por tanto, liso, por ejemplo, por Vakil, Teorema de 25.2.2)
- de manera más general, podemos decir algo acerca de la curvatura de $\pi$, incluso si las fibras no son suaves, pero aún así de constante dimensión?
La primera parte es el ejercicio 25.2.F de Vakil.
Fácilmente podemos realizar una serie de reducciones para simplificar la pregunta: la pregunta es local en el destino y en la fuente, por lo que localmente se puede sustituir $Y$$\mathbb{A}^n_k$, mediante la elección de un étale surjective mapa a $\mathbb{A}^n_k$. También podemos reemplazar $X$ por una suave afín variedad. También debe ser suficiente para comprobar esta en cerrada puntos. Por lo tanto, tenemos un morfismos de anillos de $B \colon= k[y_1,\dots,y_n]\rightarrow A$, donde a es Una finitely generadas $k$-álgebra de dimensión $m$ $\Omega_{\mathrm{Spec }A/k}$ localmente libre de rango $m$, de tal manera que todo el tensor de productos con la máxima ideales de $B$ (posiblemente suave) de dimensión $m-n$. De lo anterior se sigue que el $A$ es un plano $B$-álgebra?
Debo decir que realmente no saben cómo acercarse a este. Me parece que no puede relacionar la planitud y la suavidad de condiciones, y la respuesta a esta pregunta es claramente falso si $Y$ no es fácil, pensar en la normalización del nodo, donde todas las fibras son suaves, de dimensión $0$ (y probablemente también si $X$ no, aunque no tengo un contraejemplo en mi cabeza).
