método de las características

Question

$au_x+bu_y+u_t=0$

$u(x,y,0)=g(x,y)$

solucionar $u(x,y,t)$

Nuestro profesor habló acerca de cómo resolver este utilizando el Método de las Características. Sin embargo, estoy confundido acerca de este método. Ya es fin de semana, yo creo que puede ser más rápido para conseguir responder aquí. En la conferencia, él escribió lo siguiente:

Fijar un punto de$(x,y,t)$$\mathbb{R}^3$.

$h(s)=u(x+as,y+bs,t+s)$,la línea de $φ(s)=(x+as,y+bs,t+s)=(x,y,t)+s(a,b,1)$

$h'(s)=u_xa+u_yb+u_t=0$ todos los $s$.

$h(-t)=u(x-at,y-bt,0)=g(x-at,y-bt)$ <\begin{split} e^\mathbf{v}&=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{\mathbf{v}^k}{k!}=\\ % &=1+\dfrac{\mathbf{v}}{1!}-\dfrac{\theta^2}{2!}-\dfrac{\theta^2\mathbf{v}}{3!}+\dfrac{\theta^4}{4!}+\dfrac{\theta^4\mathbf{v}}{5!}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots=\\ % &=1+\dfrac{\mathbf{v}}{1!}-\dfrac{\theta^2}{2!}-\dfrac{\theta^3\mathbf{v}}{3!\,\theta}+\dfrac{\theta^4}{4!}+\dfrac{\theta^5\mathbf{v}}{5!\,\theta}-\dfrac{\theta^6}{6!}+\cdots=\\ % &=\left(1-\dfrac{\theta^2}{2!}+\dfrac{\theta^4}{4!}-\dfrac{\theta^6}{6!}\cdots\right)+\dfrac{\mathbf{v}}{\theta}\left( \dfrac{\theta}{1!}-\dfrac{\theta^3}{3!}+\dfrac{\theta^5}{5!}\cdots\right)=\\ % &=\cos\theta +\dfrac{\mathbf{v}}{\theta}\sin\theta \end u igual a este valor para todos los puntos de la línea de $(x+as,y+bs,t+s)$.

$h(0)=u(x,y,t)$

$u(x,y,t)=g(x-at,y-bt)$

La primera pregunta que tengo es que por qué queremos para parametrizar $x,y$ $t$ de esta forma. Además, ¿cuál es la característica del sistema de este problema. Si hemos obtenido la fórmula ya, ¿por qué todavía necesitamos las características del sistema de ecuaciones? Gracias!

Answer 1

Creo que es más fácil concisa volver a explicar el método, así que eso es lo que voy a hacer.

La idea: lineal, de primer orden, ecuaciones en derivadas parciales han preferido líneas (generalmente curvo) que a lo largo de toda la acción sucede. Más específicamente, debido a que el diferencial de bits toma la forma de $\mathbf f \cdot \nabla u$ donde en general $\mathbf f$ varía, en realidad, es siempre una derivada direccional a lo largo del campo de vectores $\mathbf f$.

Por lo tanto, a lo largo de una línea dada por $\dot{\mathbf x}(s) = \mathbf f$, esperamos que el PDE para reducir a una ODA que implican $\mathrm d u(\mathbf x(s))/ \mathrm d s$. De hecho, por la regla de la cadena,

$\mathrm d u(\mathbf x(s))/ \mathrm d s = \dot{\mathbf x}(s) \cdot\nabla u = \mathbf f \cdot\nabla u$

que es exactamente el término que dijo fue en el PDE.

Por lo $\mathbf f \cdot\nabla u = h(\mathbf x)$ es equivalente a $$\mathrm d u(\mathbf x(s))/ \mathrm d s = h(\mathbf x(s))$$

Por lo tanto, mediante la búsqueda de $\mathbf x(s)$ podemos encontrar el ODE $u$ satisface, y encontrar las condiciones iniciales relevantes para cada línea diciendo que en $s=0$ estamos en el espacio donde las condiciones iniciales están dadas.

¿Esta ayuda? Si se encuentra en una pregunta específica, que pide lejos!

Answer 2

Siga el método en http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{dt}{ds}=1$, dejando a$t(0)=0$, tenemos$t=s$

$\dfrac{dx}{ds}=a$, dejando a$x(0)=x_0$, tenemos$x=as+x_0=at+x_0$

$\dfrac{dy}{ds}=b$, dejando a$y(0)=y_0$, tenemos$y=bs+y_0=bt+y_0$

$\dfrac{du}{dt}=0$, dejando a$u(0)=f(x_0,y_0)$, tenemos$u(x,y,t)=f(x_0,y_0)=f(x-at,y-bt)$

$u(x,y,0)=g(x,y)$:

$f(x,y)=g(x,y)$

$\therefore u(x,y,t)=g(x-at,y-bt)$