Trigonométricas de identidad

Question

Es bien conocido (?) que si $\alpha+\beta+\gamma=\pi$ $4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma = \sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)$ (creo que lo he visto en algunos finales del siglo 19 los libros, y he leído en algún sitio en la internet (por lo tanto, es verdad!! a la derecha?) que ha aparecido repetidamente en el conjunto del examen de ingreso de los Institutos Indios de Tecnología).

Parece muy probable que esta sea la identidad similar en la literatura en algún lugar, y me pregunto donde: $$ \begin{align} & {}\qquad \text{If }\alpha+\beta+\gamma=\pi\text{ then }4\sin^2\alpha\;\sin^2\beta\;\sin^2\gamma \\ & = (\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)(\sin\alpha+\sin\beta-\sin\gamma)(\sin\alpha-\sin\beta+\sin\gamma)(-\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma). \end{align} $$

Answer 1

Se puede hacer uso de la fórmula de la Garza (*) como se indica en los comentarios, pero aviso que esto es simplemente la restricción (o el Zariski cierre de la restricción) en los senos de los tres ángulos a los senos de un triángulo. Yo no creo que hay un menor grado del polinomio que expresan la misma condición. Esto plantea la cuestión de si un conceptual existe una solución, evitando los detalles de la geometría clásica.

[(*) Inicio de la fórmula de la Garza (al cuadrado), reemplazar Área por $abc/4R$, reemplace$a,b,c$$2R\sin \alpha, 2R \sin \beta, 2R \sin \gamma$. Factores de $R$ desaparecerá del resultado final, dejando la fórmula en los senos.

El "bien conocida" fórmula en la parte superior de la cuestión similar es el de la repetición del hecho de que el área de un triángulo es la suma de los pequeños triángulos que se forman al unir los vértices al centro del círculo circunscrito.]