¿Es$\dfrac{dx}{dt}$ una fracción o no?

Question

Soy nuevo en el cálculo y durante mi clase de matemáticas de mi señor definidas $\dfrac{dx}{dt}$ $$dx/dt=\lim_{t\to t_1}\dfrac{f(t)-f(t_1)}{t-t_1}$ $ y mi señor hizo una declaración clara de que

$\dfrac{dx}{dt}$ no es una fracción sólo se comporta como una fracción!

(esto significa $\dfrac{dx}{dt}$ es sólo una notación para representar ese límite grande!) y él hizo una declaración en la que

$dx$ o $dt$ no tiene ningún significado sólo es $\dfrac{d}{dt}(x)$, lo que ha significado, pero lo tratamos como $\dfrac{dx}{dt}$.

pero al mismo tiempo mi física sir, para obtener la velocidad afirmó

deje que la partícula se encuentra en la posición $x$ tiempo $t$ y después de un cambio infinitesimal en la posición y el momento en que llegue a $x+dx$ tiempo $t+dt$. Ahora la velocidad es $\dfrac{displacement}{time}$ , con lo que conseguiremos $v=\dfrac{dx}{dt}$

y esta expresión puramente dice que $\dfrac{dx}{dt}$ es una fracción!

Ahora no sé que es la correcta, así que por favor, ayuda!

Answer 1

Lo interesante de la pregunta! Depende. En el moderno cálculo, $\frac{df}{dt}$ es sólo un símbolo de la derivada

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}$$

Como cuestión de hecho, los matemáticos prefieren a los diferentes notaciones para la derivada de una función $f$ $D f$ o $f'$.

Pero la definición de derivada se convirtió en riguroso sólo cuando el concepto de límite se convirtió en riguroso, y esto solo ocurrió con Weierstrass alrededor de 1870 y su (in)famoso "epislon-delta" de la notación. Pero todos sabemos que el cálculo fue ya utilizado (y tal vez inventado), en una forma primitiva, por Newton y Leibniz en el siglo 17!

Newton y Leibniz pensamiento de los derivados de diferentes maneras: para Newton, representó una fluxion, una tasa de flujo o cambio. Para Leibniz, fue la relación de los infinitesimales (muy, muy pequeñas) diferencias, un cociente diferencial. De hecho, fue Leibniz quien introdujo por primera vez el "cociente" en la notación $\frac{df}{dt}$!

Por ejemplo, Leibniz sostuvo que $\frac{d(x^2)}{dx}=2x$ porque

$$\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} = \frac{2 x dx + dx^2}{dx} = 2 x + dx$$

y, desde $dx$ es infinitesimal, podemos ignorar: Q. E. D. ... o no?

El punto es que un razonamiento como éste no es lo suficientemente riguroso, y que puede conducir a todo tipo de inconsistencias ($dx$ no puede ser exactamente $0$, de lo contrario, el cociente no existe...). Así que, después de un tiempo, los matemáticos dijo adiós a esos traidores "infinitesimals" y adoptó una vez por todas, la más rigurosa de la notación de Weierstrass.

En física, somos mucho más relajado tipo de chicos: a veces rigor matemático simplemente no es lo nuestro (recuerdo que uno de mis profesores de decir esto una vez: "Este teorema es falso...pero vamos a usar de todos modos!"). Secretamente nos pegado a la notación de Leibniz, y nos gusta usar todavía el día de hoy. ¿Y sabes por qué? Porque funciona. Sí: el tratamiento de la "cociente diferencial" como un real cociente de las obras.

Por ejemplo, digamos que tengo que calcular la derivada con respecto al $t$ de

$$f(x(t))$$

¿Cómo puedo hacerlo? Así de fácil:

$$\frac{d f}{dt} = \frac{df}{dx} \frac{dx}{dt}$$

O tal vez lo que desea resolver la ecuación diferencial

$$\frac{d y}{d x} = \frac{x^2}{y}$$

Pedazo de la torta:

$$y \ dy = x^2 dx \to \int y \ dy = \int x^2 dx \to \frac{y^2}{2} = \frac{x^3}{3} + c \to y=\pm \sqrt{\frac 2 3 (x^3+c)}$$

Y así sucesivamente. De hecho, incluso hay una teoría en la que este tipo de notación es rigurosa: se llama no-estándar de análisis.

Así que, si eres un matemático, a continuación, intente evitar el uso de $\frac{df}{dt}$. Pero si usted es un físico, entonces..., y no tengas miedo!

PS se me olvidaba: si usted está interesado en la historia del concepto de derivada, este artículo es muy, muy interesante.

Answer 2

En física no hay infinitesimals, de modo que dx siempre es tratado como un "pequeño pero finito de intervalos" durante los debates, y sólo cuando el cálculo real de que se está haciendo hacemos para cambiar al modo matemático, y "tomar el límite".

Durante los siglos 17 y 18, los matemáticos y los físicos de ambos hizo esto todo el tiempo. Como dicen en el deporte", no hay daño, no hay falta!" Sin embargo, como el análisis movido más allá de sus orígenes en la física, definiciones y métodos se apretó, y las pruebas se hicieron más rigurosos, incluyendo la definición de los límites, y los métodos necesarios tienden a abrumar a la física de contenido si se incluyen en una clase de física.

Así que para recapitular: matemática rigor siempre es necesaria en matemáticas, pero la física es en última instancia un sujeto experimental, y de las matemáticas puede ser el lenguaje de la física, pero es sólo una herramienta.

Answer 3

El uso de la palabra la fracción es la más elemental forma de nombrar el conjunto de los números racionales : los números que están representados por una relación de números enteros.

En física, cuando el modelo de sistemas físicos con ecuaciones diferenciales que generalmente trabajan en el dominio de los números reales y a veces los números complejos ya que tendemos a pensar en la física real de los sistemas existentes, como los de un continuo. La mecánica cuántica puede ser una excepción.

No puedo nombrar a cualquier sistema físico que puede ser modelado en el dominio de los números racionales , así que tendría que decir que $\frac{dy}{dx}$ es no una fracción.