Explique por qué $U_{44} \cong (\mathbb{Z}_{10} \oplus \mathbb{Z}_2) $ .

Question

Explique por qué $\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} U_{44} \cong (\Z_{10} \oplus \Z_2) $

Sé que $\Z_{20} \cong (\Z_{10} \oplus \Z_2)$ , así que si puedo mostrar $U_{44} \cong \Z_{20}$ entonces puedo concluir que $U_{44} \cong (\Z_{10} \oplus \Z_2) $ ya que el isomorfismo es transitivo.

Para mostrar $U_{44} \cong \Z_{20}$ Necesito demostrar que la función $ \varphi: U_{44} \to \Z_{20}$ es biyectiva y conserva la estructura. Sé que $U_{44} \text{ and } \Z_{20}$ tener orden $20$ por lo que la función puede ser biyectiva, pero no basta con demostrar $\varphi: U_{44} \to \Z_{20} $ es biyectiva.

Me pregunto si alguien puede mostrarme cómo mostrar $ \varphi: U_{44} \to \Z_{20} $ es biyectiva y preserva la estructura.

Answer 1

Ten cuidado: $$\quad \mathbb Z_{10} \times \mathbb Z_2 \not\cong \mathbb Z_{20}; \quad\text{since}\;\gcd(2, 10) = 2\neq 1$$

Utilice los hechos que

• $U(44)= U(4\cdot 11)\cong U(4)\times U(11)$ ya que $4$ y $11$ son relativamente primos.
• $U(4)\cong \mathbb Z_2$ y $U(11)\cong \mathbb Z_{10}$ .

Concluir que $$U(44) \cong \mathbb Z_{2}\times \mathbb Z_{10}$$

Answer 2

Pista: Enumera los elementos y calcula su orden. A partir de esto debería estar bastante claro.

Answer 3

Tenga en cuenta que $U(44)= U(11*4)\cong {\mathbb Z_{10}} \oplus {\mathbb Z_2}$ ya que $\gcd(11,4)=1.$

En general, si $\gcd(a,b)=1$ entonces $U(ab)\cong {\mathbb Z_a}\oplus{\mathbb Z_b}$

Answer 4

En general, para $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ , $U_n\cong(\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})^\times\times\cdots\times(\mathbb{Z}/p_k^{e_k}\mathbb{Z})^\times$ por el Teorema del Resto Chino.