Cómo integrar una función vectorial en coordenadas esféricas?
En mi caso particular, es un campo eléctrico en el eje de carga del anillo (ver imagen de abajo), la integral es bastante fácil, pero no entiendo cómo manejar el vector $(r,\theta,\phi)$, mientras que la integración de más de $\phi$.
He intentado lo siguiente:
$$\vec{E}=\int\limits_{Q}{\frac{kdq}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}$$ $$ =\int_0^{2\pi}{\frac{k\lambda \vec{r}sin\theta d\phi}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}$$ $$ =\int_0^{2\pi}{\frac{k\lambda Rd\phi}{\|\vec{r}\|^3}\vec{r}}$$ $$ =\frac{k\lambda R}{\|\vec{r}\|^3}\int_0^{2\pi}{\vec{r}d\phi} $$
Ahora, si puedo convertir $\vec{r}$ $(x,y,z)$coordenadas e integrar ok:
$$\int_0^{2\pi}{\vec{r}d\phi}=\int_0^{2\pi}{r(sin\theta cos\phi,sin\theta sin\phi,cos\theta)d\phi} = 2\pi r(0,0,cos\theta)=2\pi z\hat{z} $$
Ponerlo en la expresión original va a dar el resultado correcto.
Pero tratando de hacer la siguiente esféricas en coordenadas de error:
$$\int_0^{2\pi}{\vec{r}d\phi}=\int_0^{2\pi}{(r,\theta,\phi)d\phi} = {2\pi(r,\theta,\pi)} $$
Que es completamente equivocado...
