Demuestre que todo subespacio de $\mathbb{R}^n$ es un núcleo de un mapa lineal.

Question

Dejemos que $S$ sea un subespacio de $\mathbb R^n$ . Demuestre que hay un $n \times n$ matriz $A$ tal que

$$S= \{x \in \mathbb R^n : Ax=0\}.$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Los medios linealmente dependientes de las filas para algunos $c_1$ , $\ldots$ , $c_{p+1}$ la función racional no nula $\sum_{k=1}^{p+1} \frac{c_k}{x+k}$ tiene $p+1$ raíces $\beta$ , $1$ , $2$ , $\ldots$ , $p$ no es posible, ya que su numerador tiene grado como máximo $p$ .

Answer 2

Imagina una matriz cuyas filas forman una base para $S$ . Probablemente sepa que puede encontrar una base $B$ para el espacio nulo de esta matriz. Ahora formamos una matriz cuyas filas son los elementos de $B$ . Rellene esta matriz para $n\times n$ añadiendo filas de todos los ceros, si es necesario. Ya tienes tu matriz $A$ .

Answer 3

Encuentre una base ortonormal para $S$ Llámalo $v_1,..., v_m$ asume $1<m<n$ Si no, toma la matriz 0 o la identidad marix. (Supongamos también que $v_i$ son vectores columna

A continuación, extienda esto a una base para $\mathbb{R}^n$ , digamos que $v_1,...,v_m,u_1,...u_{n-m}$

Entonces la matriz dada por $(u_1^T;... u_{n-m}^T; u_{n-m}^T...; u_{n-m}^T)$

significa que se ha creado una nueva fila, por lo que se trata de $n$ vectores fila.

donde $u_{n-m}^T$ aparece $m+1$ tiempos. ¿Ves por qué esta matriz debe tener un núcleo $S$ ?

Answer 4

Puede definir una traducción como $T$ a partir de la base de $R^n$ a $S$ de manera que se considere la misma base para $S$ y $R^n$ entonces si se define $T$ como va cada misma base a 0 entonces encontrará $A$ matriz. es arbitrario que su $T$ mapas base de $(R^{n}-S ) to (R^n-s)$ cómo te gusta entonces tendrás alternativa $T$