Estaba tratando de calcular $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln x dx=-\gamma$$ y me encontré con esta pregunta:
Quiero analizar $$\int\frac{e^{-x}}{x}dx$$
Con $u=\displaystyle\frac{1}{x} \Rightarrow du = \displaystyle\frac{-1}{x^{2}} dx $, e $dv=e^{-x} \Rightarrow v=-e^{-x}$
Entonces
$$\int\frac{e^{-x}}{x}dx = \displaystyle\frac{1}{x}\cdot-e^{-x}-\int-e^{-x}\cdot\displaystyle\frac{-1}{x^{2}} dx = -\displaystyle\frac{e^{-x}}{x}-\int \displaystyle\frac{e^{-x}}{x^{2}} dx$$
La integración de la misma forma, se obtiene:
$$\int\frac{e^{-x}}{x}dx = -\displaystyle\frac{e^{-x}}{x} + \displaystyle\frac{e^{-x}}{x^{2}} + 2\int\frac{e^{-x}}{x^{3}}dx$$
Son estos cálculos son correctos?, y más es válido decir :
$$\int\frac{e^{-x}}{x}dx = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}n!\frac{e^{-x}}{x^{n+1}}\ ?$$
$\bf{EDIT}$: Esta serie me ayuda a calcular ? : $$\int_{0}^{\infty}e^{-x}\ln xdx=-\gamma$$ No sé cómo activar esta serie en algo armónico. Si no, es esta la manera de calcular que este integral converge a $-\gamma$, lo que es la forma ?
Gracias
