Demostrar que .

Question

Necesito probar esta ecuación$$\sum_{k} { {n}\choose{k}}\frac{(-1)^k}{x+k} = \frac{n!}{x(x+1)...(x+n)}$ $

Answer 1

(Asumiré que:$k$ se ejecuta desde$0$ a$n$)

Observamos que,$$\frac{1}{x+k} = \int_0^1 t^{x+k-1} \mathrm{d}t$ $ Así, tenemos

\begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{x+k} &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k \int_0^1 t^{x+k-1} \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 t^{x-1} \left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-t)^k \right) \mathrm{d}t \\ &= \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^n \mathrm{d}t \\ &= \beta(x, n+1) \end{align*}

donde$\beta(x,y)$ denota la función beta. Ahora, si se da ese$x \in \mathbb{R^+}$ y$n \in \mathbb{N}$ entonces

PS

PD: No estoy muy seguro, pero creo que podemos justificar el cambio de la integral y la suma debido a la convergencia uniforme.

Answer 2

Pongamos$\frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}$ en fracciones parciales. Podemos escribir \begin{align*} \frac{n!}{x(x+1)\cdots (x+n)} &= \sum_{k=0}^n \frac{A_k}{x+k} \end {align *} Limpiando las fracciones y poniendo$x = -k$, obtenemos \begin{align*} A_k(-k)(-k+1) \cdots (-k+k-1)(-k+k+1) \cdots (-k+n) = n! \end {align *} y por lo tanto$A_k (-1)^k k! (n-k)! = n!$ y$A_k = (-1)^k\frac{n!}{k!(n-k)!} = (-1)^k \binom{n}{k}$