¿Cómo soluciono esto?

Question

Este problema se encuentra en las ecuaciones diferenciales elementales de Penney, enumeradas como DE reducible de segundo orden. El capítulo ha enseñado dos técnicas para usar, que son para cuando falta$x$ o$y(x)$. No mostró cómo resolver cuando falta$y'(x)$.

Lo comprobé con WolframAlpha, y sugiere comenzar asumiendo que$y$ es proporcional a$e^{\lambda x}$.

Si no supiera asumir esto, ¿cómo podría resolver esto de otra manera?

Answer 1

$y''+4y=0$ es un segundo orden de la ecuación diferencial. En primer lugar, cambiar la ecuación para

$r^2+4 = 0$

Esta ecuación se le han conjugado complejo de raíces, por lo que la respuesta final sería en forma de $e^{\alpha x}(c_1\sin(\beta x) + c_2 \cos (\beta x))$ donde $\alpha$ es igual a la parte real de las raíces complejas y $\beta$ es igual a la parte imaginaria de (uno de) las raíces complejas.

Tenemos que usar la fórmula cuadrática \begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}} & {{\rm{when}}} & {ax^2 + bx + c = 0} \\ \end{array}

En esta ecuación $a =1$, $b=0$, y $c =4$

\begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{ -0 \pm \sqrt {0^2 - 4(1)(4)} }}{{2}}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{ -0 \pm \sqrt {-16} }}{{2}}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{\pm \sqrt {-16} }}{{2}}} \\ \end{array} Ya que no podemos tener signo negativo de la raíz cuadrada, tenemos un número imaginario $i$.

\begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{\pm \sqrt {16}i }}{{2}}} \\ \end{array} Tomar la raíz cuadrada \begin{array}{*{20}c} {x = \frac{{\pm 4i }}{{2}}} \\ \end{array} \begin{array}{*{20}c} {x = \pm 2i} \\ \end{array} Ahora vamos a llevar esta ecuación de la espalda.

$y = e^{\alpha x}(c_1 \sin(\beta x) + c_2 \cos (\beta x))$

$\alpha = 0$ $\beta = 2$

Entonces, la respuesta sería

$y = e^{0x}(c_1\sin(2x) + c_2\cos (2x))$

Desde $e^{0x}$ $1$ porque $0$ multiplicado por el $x$ es sólo $0$$e^{0}$$1$.

La respuesta final es $y = (c_1\sin(2x) + c_2\cos (2x))$.

Answer 2

Use una "solución de prueba":$y=e^{\lambda x}$. Entonces la ecuación característica es$\lambda^2+4=0$. ¿Puedes proceder desde aquí?

Answer 3

Podemos solo factor y resolver dos de primer orden ecuaciones diferenciales ordinarias en su lugar. Escribir $$y''+4y=y''+2iy'-2iy'+4y=(y'+2iy)'-2i(y'+2iy)=0.$$ Substitute $z=y'+2iy$ and get $z'-2iz=0\implica z(t)=e^{2it}$. Substitute back: $$y'+2iy=Ae^{2it}\iff(e^{2it}y)'=Ae^{4it}$$ We then get the desired solution $$y=Ae^{2it}+Be^{-2it}.$$

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No hace falta decir, la misma técnica funciona para cualquier segundo orden ordinario de la ecuación diferencial con coeficientes constantes. Usted puede ver una prueba aquí, con especial atención a la igualdad de raíces caso.

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Lo siento, se me acaba de señalarse que son el OP de la pregunta. Si esta respuesta no es útil, hágamelo saber.