El argumento del agujero

Question

He leído las explicaciones de esto, pero no he entendido realmente. Dado un espacio-tiempo $(M,g)$ he leído que si yo represento a la métrica en algunas coordenadas $(x,y,z,t)$ $g(x,y,z,t)$ y, a continuación, en otro sistema de coordenadas como $g'(x',y',z',t'),$ que $g'(x,y,z,t)$ (ahora el uso de las coordenadas antiguas) también resolver las ecuaciones de Einstein. Ahora $g$ $g'$ son dos diferentes métricas en el colector y así debe predecir física diferente, pero de alguna manera son el mismo? Si puedo medir la distancia entre dos puntos en el colector que debo obtener diferentes respuestas, si las métricas son diferentes, ¿no? Esta es la parte realmente no entiendo. Es algo así como la $(M,g')$ no es una solución, pero sólo $(M',g')$ donde $M'$ es diffeomorphic a $M$?

Para dar un ejemplo claro, echemos un vistazo a la métrica de Schwarzschild: \begin{equation} ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}dr^2+r^2\left(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2\right) \;. \end{equation} al Parecer (según http://faculty.luther.edu/~macdonal/HoleArgument.pdf) \begin{equation} ds^2=-\left(1-\frac{2GM}{c^2 f(r)}\right)c^2dt^2+\left(1-\frac{2GM}{c^2 f(r)}\right)^{-1}f'(r)^2dr^2+f(r)^2\left(d \theta^2 +\sin^2 \theta d \phi^2\right) \; \end{equation} también es una solución para cualquier diffeomorphism $f$ a pesar de que las distancias no son las mismas. Por supuesto, cuando se derivan de la métrica de Schwarzschild parece (según Carroll libro) $(r,\theta,\phi,t)$ son sólo símbolos que sólo interpretar después de encontrar la métrica, que es confuso. Nota no hice un cambio de coordenadas de aquí, he cambiado la métrica. Son realmente ambas soluciones en el mismo colector?

Answer 1

Cambiar las coordenadas de una métrica no cambia la física subyacente, ni la solución. Una métrica$g$ que describe una variedad$M$, si bajo difeomorfismos se transforma en una nueva métrica$g'$, todavía describirá el$M$ original.

Answer 2

Cuando el cambio de coordenadas, que acaba de elegir a un atlas para $\mathcal{M}$. Esto no cambia la métrica $g$, tal como se define independiente de las coordenadas.

Ahora, su Schwarzschild ejemplo, tiene poco que ver con esto, ya no estamos hablando de un diffeomorphism $t : \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M'}$. Sin embargo, si $\mathcal{M'}$ no está ya dotado de una métrica, su elección natural para una métrica $g'$ es

$$ g'(\mathrm{d}t(X),\mathrm{d}t(Y)) := g(X,Y) $$

lo que significa que requieren que el $t$ es una isometría.

Así que, cuando usted elige $t$ a ser un automorphism de $\mathcal{M}$, y sólo actúan sobre la coordenada $r$ como un suave $f(r)$, la inducida por la métrica en el destino del colector (que es$\mathcal{M}$) es exactamente la segunda métrica anotó si el origen del colector está dotado con la costumbre de la métrica de Schwarzschild. Como estos dos son isométrica, que describen la misma física. En particular, ello implica que el $g'$ es también una solución a las ecuaciones de Einstein. Así, tanto el $(\mathcal{M},g)$ $(\mathcal{M},g')$ son permitidos spacetimes.

Así que, yo sólo desnatada en el papel, y, como resulta realmente sólo hacer un cambio de coordenadas: cambio de la coordenada radial como $f(r') = r$. Así que, has la métrica dada w.r.t. $(t,r,\phi,\theta)$ por su primera ecuación, y has la métrica dada w.r.t. $(t,r',\phi,\theta)$ por su segunda ecuación. Son la misma, ya que, para cualquier punto de $p$, las coordenadas están relacionadas como $f(r') = r$. No son dos diferentes métricas, sólo diferentes coordinar la expresión.

Answer 3

Ahora g y g' son dos diferentes métricas en el colector y por lo tanto deben predecir física diferente, pero de alguna manera son el mismo?

Las ecuaciones de campo requieren cuatro coordinar las condiciones para una solución única.

Para la línea de Schwarzschild elemento, una coordenada condición es que el área de la superficie de cada esfera es $4\pi r^2$.

Para la línea de elemento de la 2ª solución que usted proporciona, una diferente coordinar la condición se utiliza; el área de la superficie de cada esfera es$4\pi f^2(r)$, por lo que esta línea de elemento pertenece a un espacio-tiempo múltiple pero uno que es estática solución para el vacío esféricamente simétrica espacio-tiempo.

A partir de los enlaces de papel:

Teoría General de la relatividad considera $G$ $G'$ vivir en diferentes el espacio-tiempo colectores, decir $M$$N$. Para distinguirlos, cambiar el nombre de su $r$ coordenadas de a$r_M$$r_N$.

Mapa de un evento $E_N \in N$ $r_N$ para el caso de $E_M \in M$ $r_M = f (r_N)$, con las otras coordenadas sin cambios. A continuación, el la transformación de los mapas de $G'$$G$.