Familia delimitada localmente

Question

Estoy estudiando para un examen y me encontré con un problema que tengo dificultades para resolver.

Deje que$\mathcal{F}$ sea una familia de funciones analíticas en el disco de unidad cerrada,$D$.

Suponer

$\int_{D} |f|^{2} dA \le 1$

para todos $f \in \mathcal{F}$.

¿Puedo concluir que$\mathcal{F}$ está limitado localmente?

Answer 1

Sí. La fórmula de Cauchy estados que $$f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_{\theta} f(z + re^{i \theta}) d\theta$$ que da una expresión para $f(z)$ en términos del promedio de alrededor de un círculo. Por la integración de ello se sigue que $$ f(z) = \frac{1}{r_0^2 \pi} \int_{r \leq r_0, \theta} f(z+re^{i \theta}) r dr d\theta$$ lo que implica que si el cuadrado integral de $f$ es acotado, entonces (por Cauchy-Schwarz) $f$ es localmente acotado por una función en la plaza de la integral de $f$ y el círculo en cuestión. A partir de este su reclamación de la siguiente manera.

Básicamente, el punto es que $f$ es el promedio de sus valores en un barrio. Tenga en cuenta que esto implica que el espacio de holomorphic funciones en un conjunto abierto $U$ tal que $\int_{U} |f|^2$ es finito es en realidad un espacio de Hilbert (es decir, completa) en virtud de la costumbre interior del producto.