$\sum_{n=1}^\infty n\beta_n<\infty$ implica$\sum_{n=1}^\infty n\alpha_n\beta_n<\infty$, para$\alpha_n\to\infty$?

Question

Supongamos que$\beta_n$ es una secuencia de números reales positivos que satisfacen$$\sum_{n=1}^\infty n\beta_n<\infty$ $

¿Es posible encontrar una secuencia$\alpha_n$ de números positivos tal que$\alpha_n\to\infty$ y$$\sum_{n=1}^\infty n\alpha_n\beta_n<\infty$ $

Gracias.

Answer 1

El "$n$" en $n\beta_n$ no es importante. La pregunta realmente es si para los positivos $\gamma_n$ tal que $\sum \gamma_n\lt \infty$, podemos encontrar $\alpha_n$ que va a $\infty$ tal que $\sum\gamma_n\alpha_n$ converge.

Supongamos que $\sum \gamma_n$ converge a $c$, y deje $\delta_n=c-\sum_{i=1}^n \gamma_i$. A continuación, $\delta_n$ limit $0$. Deje $\alpha_n=\sqrt{1/\delta_n}$. Nos muestran que esta $\alpha_n$ obras.

Es suficiente para demostrar que la secuencia de $t_n=\sum_{i=1}^n \gamma_i\alpha_i$ es de Cauchy. Deje $\epsilon \gt 0$ ser dado.

Así que busque en $|t_n-t_m|$ donde $n\gt m$. Tome $N$ lo suficientemente grande como para que $\delta_N\lt \epsilon^2$. Si $m$$n$$\gt N$,$|t_n-t_m|\lt \epsilon^2/\sqrt{\epsilon^2}=\epsilon$.