La comunicación de las matemáticas

Question

Como TA, mis calificaciones han sido bastante mediocre. No hay nada que sugiera que yo soy un problema, pero tengo margen para mejorar.

Lo que es más preocupante para mí es que yo aún tienen problemas para comunicarse de matemáticas con gente que sabe mucho más que yo. No es ninguna sorpresa que ellos tienen problemas para comunicarse conmigo. Ellos saben más, probablemente olvidó de lo que se siente al saber menos, y generalmente no damos los detalles en todo, a veces incluso la omisión de mencionar que un detalle en particular que necesita ser llenado. Pero cuando me comunico, intento dejar como algunos detalles como sea posible y enunciaba claramente cuando estoy saliendo de ellos, y para minimizar el número de errores que hacen. Estoy muy nitpicky acerca de esto.

Por lo que debe existir otros obstáculos a la comunicación no sólo en el de tergiversaciones. Sospecho que lo que me falta es un elemento pedagógico, que también explicaría mi interacción con los estudiantes. Cómo se puede ir sobre la búsqueda de qué es lo que falta, y luego arreglar? ¿Cuáles son algunas de las enseñanzas comunes de los errores cometidos por las personas con la actitud de que las matemáticas deben ser precisos y hermético? No es que yo soy un seguidor de mi propia filosofía que me niego a "tonterías". Que solía ser el problema, pero parece que cuando yo intento transmitir ideas vagas, la gente no me entiende.

Answer 1

Como un maestro experimentado, permítanme ofrecer un par de trozos de asesoramiento.

Por todos los medios, hacer ir a charlas y ver lo que hace que algunos de los oradores eficaz (en general, quizás no siempre) y lo que hace que otros oradores, menos.

Una de las artes de la enseñanza es anticiparse a lo que el público va a tener dificultades. En gran parte, esto viene con la experiencia. Pero es importante pensar cuando estás preparando sus propias conferencias. Si ya has visto que los estudiantes han tenido problemas de comprensión de ciertos conceptos o ciertos tipos de cálculos, a tratar de que la cabeza en sus presentaciones.

Otro error que muchos profesores hacen (por desgracia, incluso aquellos con mucha experiencia) es conseguir sumido en pruebas/derivaciones antes de que los estudiantes aún tienen un contexto o por cualquier razón a la atención. Bien elegido ejemplos hecho antes de la teoría general de gran ayuda. De hecho, yo diría que lo mismo vale para entender un teorema: Usted realmente no entiende hasta que usted me puede dar uno o dos ejemplos (quizás uno de ellos es trivial) para ilustrar su significado y su aplicación. Esto es parte de la motivación para que otros se han referido. :)

La última, en la medida de como es la enseñanza de que se trate, de dejar que los estudiantes sepan que usted se preocupa por su aprendizaje y el progreso es enorme. Está bien, una vez que establecer una buena relación, para ser honesto acerca de su decepción en sus puntajes de las pruebas, etc., pero tienen que saber que usted quiere que ellos aprendan. Y, Jeff, particularmente en el nivel relativamente bajo de los cursos, que no quieren sentarse a través de su hacer pedante pruebas de que podría satisfacer a usted como estudiante. Es mucho más importante que enseñar a su precálculo y cálculo estudiantes cómo abordar los problemas y cómo escribir comprensible soluciones de los problemas. Ellos no necesitan saber (y mucho menos entender) la prueba de la Máxima Teorema del Valor en Calc I; ¿ necesita saber cómo dar una sólida aplicación de la misma en el contexto de la aplicación de un max/min problema. Ellos necesitan saber cómo configurar las funciones de una manera lógica, de pensar acerca de sus dominios, entender por qué la función debe tener un máximo (que no sean sólo "el problema lo pidió"), y luego encontrar. (Muchos de los estudiantes en estos días tienen la debilidad de álgebra habilidades que los más débiles habilidades en el camino de mucho más conceptualmente interesante.)

Y, por último, estoy de acuerdo con la gente de por aquí se anima a contestar más preguntas por el camino de aprendizaje para la práctica de explicar las cosas en los diferentes niveles. A veces aquí es muy difícil evaluar el nivel de la persona que pregunta. Me he dado cuenta de varios estudiantes de posgrado (al menos creo que lo son), dando explicaciones que podrían ser apropiadas para las personas en su nivel, en lugar de para el que pidió (que estaba claramente en la introducción del curso de licenciatura).

OK, así que mi idea de "un par de bits" es oblicuo. :)

Answer 2

La mayoría de las personas, cuando se presenta una reclamación, se necesita una cierta cantidad de tiempo y/o información contextual para entender por qué esa afirmación tiene, pero ¿qué significa y por qué es importante.

Ejemplo Simple: si se me presenta un teorema acerca de simples grupos, habiendo definido por ellos, me gustaría estar mirando preguntan por qué me debe importar, porque yo no tienen ni idea de lo que hace simple grupos importantes.

Answer 3

Una forma bastante aleatoria ejemplo de una gran técnica pedagógica de matemáticas - ejemplos de la primera.

Por ejemplo, supongamos que yo estaba tratando de explicar a usted lo que es un anillo que está en el álgebra. Podría comenzar diciendo que un anillo es un conjunto a $R$ junto con dos operaciones binarias $+$ $.$ tal forma que:

• $r+s=s+r$ y $(r+s)+t$=$r+(s+t)$ para todos los $r,s,t\in R$
• Existe $0\in R$ tal que $r+0=r$ todos los $r\in R$
• etc. ...

Sin embargo, son mucho más propensos a entender lo que un anillo es que si te doy algunos ejemplos concretos. Por ejemplo, yo podría decir, "Anillos" son como $\mathbb{Z}$. Si tenemos en cuenta los números enteros, entonces tenemos dos importantes operaciones de $+$$\times$, que tienen las siguientes propiedades interesantes...', Entonces yo podría señalar que interesantes de otras series como los enteros $\mod n$, lo que también tiene dos operaciones que se comportan de una manera similar. Sólo entonces te doy la formal axiomático definición de un anillo. El siguiente paso sería que muestran que muchas cosas interesantes que son verdaderas para los enteros son verdaderas para todos los anillos, y que muchas otras cosas interesantes acerca de los números enteros (como única factorización) son verdaderas para los anillos con ciertas propiedades. A continuación, se podría obtener una comprensión de lo que los anillos son y por qué son la introducción de la pena.

Del mismo modo, no creo que nadie iba a encontrar la siguiente definición en todo sentido si no hubiera estudiado topología de antes:

Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una colección de $\tau$ de los subconjuntos de a $X$ (llamado abierto conjuntos) tal que:

• $\varnothing,X\in\tau$.
• $\tau$ es cerrado bajo de tomar los sindicatos: para todos (posiblemente infinita) colecciones de conjuntos de $(U_\alpha)_{\alpha\in A}$$U_\alpha\in\tau$, la unión de $\bigcup_{\alpha\in A}U_\alpha$$\tau$.
• $\tau$ es cerrado bajo tomando finito de las intersecciones para todos $A, B\in\tau$, $A\cap B\in\tau$ (y por lo tanto todas las intersecciones de un número finito de miembros de $\tau$ están contenidas en $\tau$).

Mucho mejor es empezar por la introducción de la más concreta la idea de la métrica de los espacios (por primera muestra que una gran cantidad de conceptos en el análisis real, como la convergencia y continuidad, puede ser expresada exclusivamente en términos de la distancia entre los puntos, y que muestra que más ideas abstractas de la distancia puede ser útil) y, a continuación, muestra que la definición de una función continua entre espacios métricos puede ser expresada exclusivamente en términos de los bloques abiertos en ese espacio y, a continuación, la introducción de la topología a partir de ahí.

Después de haber dado algunos ejemplos, ahora voy estado el principio general: si se quiere explicar algo de matemáticas a alguien, siempre comienzo por decirles algunos ejemplos de motivación. Esto sirve a dos propósitos. En primer lugar, se muestra el motivo por el que debe preocuparse acerca de la idea de que usted está presentando, ya que todos los conceptos matemáticos fueron creados originalmente porque estaban muy interesante, de alguna manera. En segundo lugar, les ayuda a entender las ideas que estás diciendo sobre ellos, ya que tienen algunos ejemplos concretos de vinculación en su mente.

Por supuesto, eso es sólo una útil técnica, y no necesariamente es útil en todos los contextos. Pero es a menudo muy útil.

Para una mejor exposición de esta idea, ver este post del blog de Timothy Gowers.