En proceso Estocástico, Bajo demanda (sin prueba) la función
$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $f(x)=\int_{A} e^{\tfrac{-(y-x)^2}{2t}}dy$ es continuo, donde $A$ es Borel medible conjunto.
Él dice usar teorema de convergencia dominada, está claro. Pero me confundo aquí. Porque, ¿CÓMO?
Traté de usar la definición de continuidad ($\epsilon-\delta$ argumento) para demostrar que, por ejemplo,
$|\int_{A} e^{\tfrac{-(y-x)^{2}}{2t}}dy-\int_{A} e^{\tfrac{-(y-x_{n})^{2}}{2t}}dy|$ $ \leq |\int_{A \cap [y \leq M]} e^{\tfrac{-(y-x)^{2}}{2t}}dy-\int_{A \cap [y \leq M]} e^{\tfrac{-(y-x_{n})^{2}}{2t}}dy|$
+$|\int_{A \cap [y \geq M]} e^{\tfrac{-(y-x)^{2}}{2t}}dy-\int_{A \cap [y \geq M]} e^{\tfrac{-(y-x_{n})^{2}}{2t}}dy|$
El primer término, creo que podemos usar el dominado convergente teorema, y la segunda utiliza el hecho de que el integrando es $L^{1}$-integrable, pero no puedo dar un buen $\epsilon-\delta$ argumento, alguien puede ayudarme?
Además, si el $f$ hace $f(x)=\int_{A} F(y)e^{\tfrac{-(y-x)^2}{2t}}dy$ donde $F$ es acotado medible, será continua todavía? Es importante ya que puede que le da una condición suficiente para el Fuerte de Markov Proceso, pero el autor nunca se menciona. Gracias!
