Pregunta sobre la prueba del teorema de completitud.

Question

Queremos demostrar que el modelo de existencia lema: $\mathcal{\varGamma}$ es un conjunto coherente de $\mathcal{L}$frases $\Leftrightarrow$ $\mathcal{\varGamma}$ tiene un modelo.

En el Henkin estilo de la prueba, realizamos un modelo de $\mathcal{M}$ $\mathcal{\varGamma}$ [haciendo un modelo para la máxima y Henkin $\mathcal{L_{\omega}}$-teoría de la $T'$ que se extiende sobre la $\mathcal{L}$-teoría $T=${$A:\Gamma\vdash A$}]

$*$Ayuda: $\mathcal{L_{\omega}}$ es la extensión de $\mathcal{L}$ mediante la adición de las constantes correspondientes a la existensial fórmulas en $\mathcal{L}$ [Infinito unión, definidos de forma recursiva extensiones de $\mathcal{L}$].

El proceso es bien conocido y no voy a mencionar en detalle. Bueno, seguramente es un modelo para $\mathcal{\varGamma}$, Pero $\mathcal{M}$ $\mathcal{L_{\omega}}$- modelo.

Ahora, la pregunta es: no vamos a encontrar una $\mathcal{L}$-modelo para $\mathcal{\varGamma}$? Si sí, entonces lo que es digno acerca de la $\mathcal{L_{\omega}}$modelo $\mathcal{M}$? Y si no, por favor aclarar mí acerca de lo que está pasando!

Gracias

Answer 1

Deje que$M$ sea una estructura$L_\omega$, que es un modelo de$\Gamma$, y que$M_0$ sea la estructura$L$ - cuyo conjunto subyacente es el mismo que el conjunto subyacente de$M$, y tales que las interpretaciones de los símbolos no lógicos de$L$ son las mismas que sus interpretaciones en$M$.

Todas las oraciones de$\Gamma$ son verdaderas en$M_0$, por lo que la estructura$L$$M_0$ es un modelo de$\Gamma$.