En el espacio-tiempo de Schwarzschild, la tortuga coordinar $r_\ast$ está definido por la propiedad de que
$$\dfrac{dr_\ast}{dr}=\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)^{-1}$$
Ahora, nosotros cam integrar este. Multiplicar por $r$ en el numerador y el denominador para obtener
$$r_\ast = \int \dfrac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr=\int\dfrac{r}{r-2M}dr$$
Ahora integrar por partes con $u =r$ e $dv = dr/(r-2M)$ obtenemos $du = dr$ e $v = \ln(r-2M)$. Entonces
$$r_\ast =r\ln(r-2M)-\int \ln(r-2M)dr$$
Integramos el último plazo para
$$r_\ast = r\ln(r-2M)-(r-2M)\ln(r-2M)+(r-2M)+C$$
La reorganización de los rendimientos
$$r_\ast = r+2M\ln(r-2M)-2M+C$$
Podemos elegir obviamente $C$ a cancelar la $2M$.
Pero de todos modos, casi todas las referencias, se muestra una forma diferente $r_\ast$. La canónico es
$$r_\ast = r+2M\ln \dfrac{r-2M}{2M}.$$
Por lo que uno tiene un $2M$ en el denominador. Este es el equivalente de elegir
$$C=2M-2M\ln 2M$$
Ahora, ¿por qué? Para mí está claro que uno puede hacer que, después de la inicial de la ecuación diferencial es aún satisfecho, pero ¿por qué hace todo el mundo? ¿Cuál es el punto con que $2M$ en el denominador dentro de la $\ln$?
