¿Por qué esta constante se incluye en la coordenada de tortuga?

Question

En el espacio-tiempo de Schwarzschild, la tortuga coordinar $r_\ast$ está definido por la propiedad de que

$$\dfrac{dr_\ast}{dr}=\left(1-\dfrac{2M}{r}\right)^{-1}$$

Ahora, nosotros cam integrar este. Multiplicar por $r$ en el numerador y el denominador para obtener

$$r_\ast = \int \dfrac{1}{1-\frac{2M}{r}}dr=\int\dfrac{r}{r-2M}dr$$

Ahora integrar por partes con $u =r$ e $dv = dr/(r-2M)$ obtenemos $du = dr$ e $v = \ln(r-2M)$. Entonces

$$r_\ast =r\ln(r-2M)-\int \ln(r-2M)dr$$

Integramos el último plazo para

$$r_\ast = r\ln(r-2M)-(r-2M)\ln(r-2M)+(r-2M)+C$$

La reorganización de los rendimientos

$$r_\ast = r+2M\ln(r-2M)-2M+C$$

Podemos elegir obviamente $C$ a cancelar la $2M$.

Pero de todos modos, casi todas las referencias, se muestra una forma diferente $r_\ast$. La canónico es

$$r_\ast = r+2M\ln \dfrac{r-2M}{2M}.$$

Por lo que uno tiene un $2M$ en el denominador. Este es el equivalente de elegir

$$C=2M-2M\ln 2M$$

Ahora, ¿por qué? Para mí está claro que uno puede hacer que, después de la inicial de la ecuación diferencial es aún satisfecho, pero ¿por qué hace todo el mundo? ¿Cuál es el punto con que $2M$ en el denominador dentro de la $\ln$?

Answer 1

Los físicos realmente no me gusta poner de dimensiones variables dentro de una función como $\ln$, $\sin$o $\exp$. Eligiendo $C = 2M - 2M \ln (2M)$, se pueden combinar los términos logarítmicos en el logaritmo de la relación adimensional $(r-2M)/2M$.

Más detalles sobre la razón por la que tener "desnudo" de dimensiones variables dentro de una función como $\ln$ es una mala idea:

• Exponencial o logaritmo de un dimensionful cantidad?
• ¿Cuál es el logaritmo de un kilómetro? Es un número adimensional?