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Mostrar un conjunto es un subconjunto compacto deR

Pregunta: Vamos a$$A=\{ x \in \mathbb{R}: x(x^{3}-3x-1)\leq15 \}.

Demuestre que A es un subconjunto compacto deR.

Me pregunto cómo abordar este problema. ¿Debo intentar mostrarlo directamente? ¿O es suficiente para mostrar que el conjunto está cerrado y acotado enR? Gracias

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Damian Reding Puntos 2836

Este es un lugar fresco pregunta y es probablemente la mejor manera de hacerlo utilizando las secuencias.

En primer lugar observamos que la cuártica q(x)=x(x33x1)15=x4++x±, por lo que el conjunto de A de todos los xR q(x)0 está delimitado - esto puede ser fácilmente de manera rigurosa. En su lugar, puedes utilizar también el hecho de que x33x1=1+(x2)(x+1)2 1 si y sólo si x2.

Para closedness, yo uso la caracterización secuencial: Vamos a (xn)A convergen para algunos xR. A continuación, xn(x3n3xn1) converge a x(x33x1) por límite estándar teoremas. Desde xn(x3n3xn1)15 también conseguimos x(x33x1)15 elemental teorema. Por lo xA.

Si usted no se siente cómodo el uso de Heine-Borel aquí, usted puede usar el hecho de que A ser compacto es equivalente a cada secuencia en A tener un convergentes larga en A: a Partir de una secuencia en la A, usted sabe que es limitada (como arriba), de modo de Bolzano-Weierstrass le da un convergentes subsequence xR. A continuación, se muestran que xA esencialmente por el anterior closedness argumento.

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vgmath Puntos 707

Supongo que una solución más general puede ser determinado de la siguiente manera: Vamos a p ser cualquier polinomio, y a ser una constante número real. Luego, ya como x o sabemos que el polinomio no se limita, llegamos a la conclusión de que el conjunto de x satisfacción p(x)a debe estar acotada. Por otro lado, considerar el conjunto de x tal que p(x)>a. Para cada una de las x de este conjunto, por la continuidad de p, no va a ser un barrio de x que p(x)>a sigue siendo cierto, para complemento de nuestro conjunto original es abierto, por lo que nuestro conjunto es cerrado. Por lo tanto, nuestro conjunto siempre es compacto.

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