Este es un lugar fresco pregunta y es probablemente la mejor manera de hacerlo utilizando las secuencias.
En primer lugar observamos que la cuártica q(x)=x(x3−3x−1)−15=x4+…+∞x⟶±∞, por lo que el conjunto de A de todos los x∈R q(x)≤0 está delimitado - esto puede ser fácilmente de manera rigurosa. En su lugar, puedes utilizar también el hecho de que x3−3x−1=1+(x−2)(x+1)2 ≥1 si y sólo si x≥2.
Para closedness, yo uso la caracterización secuencial: Vamos a (xn)⊆A convergen para algunos x∈R. A continuación, xn(x3n−3xn−1) converge a x(x3−3x−1) por límite estándar teoremas. Desde xn(x3n−3xn−1)≤15 también conseguimos x(x3−3x−1)≤15 elemental teorema. Por lo x∈A.
Si usted no se siente cómodo el uso de Heine-Borel aquí, usted puede usar el hecho de que A ser compacto es equivalente a cada secuencia en A tener un convergentes larga en A: a Partir de una secuencia en la A, usted sabe que es limitada (como arriba), de modo de Bolzano-Weierstrass le da un convergentes subsequence ⟶x∈R. A continuación, se muestran que x∈A esencialmente por el anterior closedness argumento.