Mostrar un conjunto es un subconjunto compacto de$\mathbb{R}$

Question

Pregunta: Vamos a$$A=\{ x \in \mathbb{R}: x(x^{3}-3x-1)\leq15 \}.$ $

Demuestre que A es un subconjunto compacto de$\mathbb{R}$.

Me pregunto cómo abordar este problema. ¿Debo intentar mostrarlo directamente? ¿O es suficiente para mostrar que el conjunto está cerrado y acotado en$\mathbb{R}$? Gracias

Answer 1

Este es un lugar fresco pregunta y es probablemente la mejor manera de hacerlo utilizando las secuencias.

En primer lugar observamos que la cuártica $q(x)=x(x^3-3x-1)-15=x^4+\ldots\,$$+\infty$$x\longrightarrow\pm\infty$, por lo que el conjunto de $A$ de todos los $x\in\mathbb{R}$ $q(x)\leq 0$ está delimitado - esto puede ser fácilmente de manera rigurosa. En su lugar, puedes utilizar también el hecho de que $x^3-3x-1=1+(x-2)(x+1)^2$ $\geq 1$ si y sólo si $x\geq 2$.

Para closedness, yo uso la caracterización secuencial: Vamos a $(x_n)\subseteq A$ convergen para algunos $x\in\mathbb{R}$. A continuación, $x_n(x_n^3-3x_n-1)$ converge a $x(x^3-3x-1)$ por límite estándar teoremas. Desde $x_n(x_n^3-3x_n-1)\leq 15$ también conseguimos $x(x^3-3x-1)\leq 15$ elemental teorema. Por lo $x\in A$.

Si usted no se siente cómodo el uso de Heine-Borel aquí, usted puede usar el hecho de que $A$ ser compacto es equivalente a cada secuencia en $A$ tener un convergentes larga en $A$: a Partir de una secuencia en la $A$, usted sabe que es limitada (como arriba), de modo de Bolzano-Weierstrass le da un convergentes subsequence $\longrightarrow x\in\mathbb{R}$. A continuación, se muestran que $x\in A$ esencialmente por el anterior closedness argumento.

Answer 2

Supongo que una solución más general puede ser determinado de la siguiente manera: Vamos a $p$ ser cualquier polinomio, y $a$ ser una constante número real. Luego, ya como $x$ $\infty$ o $-\infty$ sabemos que el polinomio no se limita, llegamos a la conclusión de que el conjunto de $x$ satisfacción $p(x)\leq a$ debe estar acotada. Por otro lado, considerar el conjunto de $x$ tal que $p(x)>a$. Para cada una de las $x$ de este conjunto, por la continuidad de $p$, no va a ser un barrio de $x$ que $p(x)>a$ sigue siendo cierto, para complemento de nuestro conjunto original es abierto, por lo que nuestro conjunto es cerrado. Por lo tanto, nuestro conjunto siempre es compacto.