Suena tonto, pero difícil de desigualdad que suponga el pedido de cambio y el exponentiating

Question

Así que me quedé atrapado en un pequeño problema. Dado $x,s,t>1$, muestran que

$1+(x^t-1)^s > (1+(x-1)^s)^t$

Parece cierto cuando me parcela, y estoy muy convencido de que es verdad, pero no puedo encontrar una manera de demostrarlo. He sido sorprendido por esto todo el día. Alguien sabe cómo hacer frente a este tipo de desigualdades?

Estoy tratando de demostrar que $x\mapsto\frac{\log(1+(x-1)^s)}{\log x}$ es monotonely el aumento de $x>1$, cuando se $s>1$, si a nadie le importa cómo llegué a la desigualdad.

EDITAR: Un comentarista me pidió que le explique cómo llegué desde mi principal tarea a la desigualdad. Aquí va: Vamos a $f(x) = x\mapsto\frac{\log(1+(x-1)^s)}{\log x}$. Deje $y>x>1$, entonces existe $t>1$ tal que $y=x^t$. $f(y)=\frac{\log(1+(x^t-1)^s)}{t\log x}=\frac{\log((1+(x^t-1)^s)^{1/t})}{\log x}$, que es mayor que $f(x)=\frac{\log(1+(x-1)^s)}{\log x}$ si y sólo si $(1+(x^t-1)^s)^{1/t}>1+(x-1)^s$.

Answer 1

Deje $f(x) = 1 + (x-1)^s$, señalando que $f(1) = 1$. El deseado de la desigualdad es $$ f(x^t) > f(x)^t \,. $$ Ahora vamos a $g(y) = \log f(e^y) = \log(1 + (e^y-1)^s)$ y tenga en cuenta que $g(0) = 0$. La desigualdad se convierte en $$ g(ty) > tg(y) \quad \forall y > 0 $$ o $$ \frac{g(ty)}{ty} > \frac{g(y)}{y} \quad \forall y > 0 \,, $$ que es equivalente a la afirmación de que $g(y)/y$ es estrictamente creciente. Tenga en cuenta que desde $g(y)/y$ es el valor promedio de $g'$ de $0$ a $y$, es suficiente para mostrar $g'(y) > g(y)/y$ para todos los $y > 0$.

Tenemos $$ g'(y) = \frac{s(e^y-1)^{s-1}e^y}{1 + (e^y-1)^s} = s\frac{u^{s-1}(1+u)}{1 + u^s} = s\frac{(1+u)/u}{(1+u^s)/u^s} $$ donde $u = e^y-1$. Desde $y = \log(1+u)$, estamos tratando de mostrar $$ s\frac{(1+u)/u}{(1+u^s)/u^s} > \frac{\log(1+u^s)}{\log(1+u)} $$ o, equivalentemente, $$ \frac{(1+u)\log(1+u)}{u \log u} > \frac{(1+u^s)\log(1+u^s)}{u^s \log(u^s)} \,. $$ Dado que las funciones $$ v \mapsto \frac{1+v}{v} \quad\text{and}\quad v \mapsto \frac{\log(1+v)}{\log v} $$ están disminuyendo en $(0,1)$ y en $(1,\infty)$, por lo que es su producto, y que se hacen desde $u$ e $u^s$ mentira en el mismo lado de la $1$.