Demostrar $1+\frac13 \left(1+\frac15 \left(1+\frac17 (1+\dots ) \right) \right)=\sqrt{\frac{\pi e}{2}} \text{erf} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Question

Cómo probar: $$1+\frac13 \left(1+\frac{1}{5}\left(1+\frac{1}{7}\left(1+\frac{1}{9}\left(1+\dots \right) \right) \right) \right)=\sqrt{\frac{\pi e}{2}} \text{erf} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$$

Ya podemos representar la serie de $e$ en un bonito formulario:

$$1+\frac12 \left(1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{5}\left(1+\dots \right) \right) \right) \right)=e-1$$

He estado tratando de buscar formas cerradas para algunas expresiones similares. Por ejemplo, es fácil ver que:

$$1+\frac12 \left(1+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{6}\left(1+\frac{1}{8}\left(1+\dots \right) \right) \right) \right)=\sqrt{e}$$

Sin embargo, no sé cómo demostrar a la expresión en el título. Parece ser algo de Ramanujan a tener en cuenta.

P. S. la forma cerrada fue dado por Wolfram Alpha.

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Ver una fórmula general proporcionada por Lucian en los comentarios.

WA también ofrece otra fórmula general:

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\prod_{k=0}^n bk+c}=e^{\frac{1}{b}} \left(\frac{1}{b} \right)^{1-\frac{c}{b}} \left( \Gamma\left(\frac{c}{b} \right) -\Gamma\left(\frac{c}{b},\frac{1}{b} \right) \right)$$

Todavía no sé cómo demostrarlo, pero me he dado cuenta de la aparición de las funciones hipergeométricas en algunos casos, lo que hace posible la transformación de la expresión de la serie hipergeométrica.

Answer 1

Utilizando la función Beta de Euler,

$$ S = \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)!!} = \sum_{n\geq 0}\frac{2^n n!}{(2n+1)!} = \sum_{n\geq 0} \frac{2^n}{n!} B(n+1,n+1) \tag{1}$$ conduce a: $$ S = \int_{0}^{1}\sum_{n\geq 0}\frac{\left(2x(1-x)\right)^n}{n!}\,dx = \int_{0}^{1}\exp\left(2x(1-x)\right)\,dx\tag{2}$$ y la última integral es fácil de convertir en el $\text{Erf}$ formato a través de la sustitución de $x=\frac{1}{2}+t$.