Demostrar que $p-1 \mid p^k(p-2)+1$

Question

Cómo demostrar que para los números primos $p$ y los números naturales $k$ , $$p-1 \mid p^k(p-2)+1$$ Mi planteamiento inicial es comprobar si el numerador es par, ya que el denominador puede ser 1 o un número par. Al comprobarlo, sí. Si es divisible, cuál podría ser la forma del divisor... Gracias...

Answer 1

Reacomodar:

$$p^k (p - 2) + 1 = p^k (p - 1) + 1 - p^k$$

Por lo tanto, basta con comprobar que $p - 1 | p^k - 1$ . Esto se puede demostrar considerando

$$p^k - 1 = (p - 1)(1 + p + p^2 + \dots + p^{k - 1})$$

Answer 2

Para los enteros $k\ge0,$ $$p^k-1\equiv0\pmod{p-1}$$ como Por qué $a^n - b^n$ es divisible por $a-b$ ?

Alternativamente, observe que para los enteros $k\ge0,$ $$p^k=(p-1+1)^k=\sum_{0\le r\le k}\binom kr(p-1)^r=1+\sum_{1\le r\le k}\binom kr(p-1)^r\equiv1\pmod{p-1}$$ como Prueba de que una combinación es un número entero

Answer 3

Piensa en el mod. $p-1$ :

$p\equiv1\pmod{p-1}$ y $p-2\equiv-1\pmod{p-1}$ . Por lo tanto, $$ p^k(p-2)+1\equiv1^k(-1)+1\equiv0\pmod{p-1} $$ Eso es, $p-1\mid p^k(p-2)+1$ .

Answer 4

Esto es cierto en un entorno mucho más general, no sólo para los números primos y la divisibilidad de los números naturales. Fíjate en el polinomio $f(X) = X^k (X - 2) + 1$ (sobre cualquier anillo $R$ que te guste). A continuación, $f(1) = 1^k (1 - 2) + 1 = 0$ . Por lo tanto, $X - 1 \mid f(X)$ . Conectando una $x \in R$ entonces también da $x - 1 \mid x^k (x - 2) + 1$ .

Answer 5

En lo que sigue, suponemos que $p$ es un número primo y que $k$ es un número entero no negativo.

Otra forma de demostrar que $$p - 1 \mid {p^k}(p - 2) + 1$$ es demostrando que $$D(p^k) = \frac{{p^k}(p - 2) + 1}{p - 1}$$ donde $D(x)$ es la función aritmética llamada deficiencia de $x$ definido como $$D(x) = 2x - \sigma(x)$$ y donde $\sigma(x)$ es la suma de los divisores de $x$ .