Límite de la serie donde termwise convergencia tiene

Question

Dado $a_n\in\mathbb{R}$ tal que $\sum_{n=1}^\infty |a_n|^2<\infty$. Es cierto que $$\lim_{r\rightarrow 1^-}\sum_{n=1}^\infty(1-r^n)^2|a_n|^2=0?$$

Es cierto que el límite de cada término de la serie es $0$. Pero desde que la serie es infinita, es la afirmación verdadera?

Answer 1

Usted puede mostrar directamente lo que desea sin la invocación de la monotonía de la convergencia, y que puede ser lo que se necesita en este caso, dependiendo de sus antecedentes. Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Uno sólo tiene que demostrar que no existe $\delta > 0$ tal que $\sum_{n=1}^{\infty}(1-r^{n})^{2}|a_{n}|^{2} < \epsilon$ siempre $1-\delta < r < 1$. Para hacer esto, primero observe que, para cualquier positivos $N$$0 \le r \le 1$, $$ 0 \le \sum_{n=1}^{\infty}(1-r^{n})^{2}|a_{n}|^{2} \le \sum_{n=1}^{N}(1-r^{n})^{2}|a_{n}|^{2}+\sum_{n=N+1}^{\infty}|a_{n}|^{2}. $$ Debido a $\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|^{2}$ converge, la última suma de la derecha puede ser hecho estrictamente menor que $\epsilon/2$ eligiendo algunos lo suficientemente grande, fijo $N$. El límite de la primera suma a la derecha de la $r\uparrow 1$ es de 0 para este fijo $N$ y, así, hay $\delta > 0$ tales que el primer sumando de la derecha es estrictamente delimitada por $\epsilon/2$ siempre $1-\delta < r < 1$. A continuación, se deduce que la suma de la izquierda es estrictamente delimitada por $\epsilon$ siempre $1-\delta < r < 1$. Debido a $\epsilon > 0$ fue arbitraria, entonces, por definición, $\lim_{r\uparrow 1}\sum_{n=1}^{\infty}(1-r^{n})^{2}|a_{n}|^{2}=0$.

Answer 2

Monotono Covergence garantiza también el límite que usted está considerando. Simplemente se debe aplicar la Monotonía Covergence a $$ \lim_{r\1^-}\sum_{n=1}^\infty(2r_n-r_n^2)|a_n|^2 $$ (así, los términos de aumento monótonamente) y restar de $$ \sum_{n=1}^\infty|a_n|^2 $$

Answer 3

Sí, si usted tiene una absoluta convergente dominante de la serie, usted puede intercambiar los límites y la suma. Esto es como el Lebesgue teorema de la convergencia dominada.

O mira de otra manera: cada término es una función en $r$. Por supuesto, la serie de max-normas converge, por lo que obtener convergencia uniforme a la pointwise límite, y el límite de la función es continua. Por lo tanto el valor 0 en r=1 es el límite dado.