Transformadas de Laplace con Fresnel(?) las integrales

Question

He entrado en contacto con esta pregunta de dos partes, y el último no estoy muy seguro de cómo ir sobre; al menos a mí en la investigación, no puedo encontrar nada remotamente similar a lo que me han pedido.

La pregunta es la siguiente:

a) Mostrar que $$\mathcal L\left[\int_{0}^t f(\tau)d\tau\right] = \frac1p\mathcal L[f(t)]$$

este yo no tenía ningún problema con el, y fue capaz de demostrar fácilmente. La siguiente parte es lo que estoy luchando.

b) por lo tanto, calcular la LT de los llamados integrales de Fresnel se define de la siguiente manera:

$$C(t) = \int_{0}^t \frac{\cos(\tau)}{\sqrt{2\pi\tau}}d\tau $$ y

$$S(t) = \int_{0}^t \frac{\sin(\tau)}{\sqrt{2\pi\tau}}d\tau $$

Supuse que el uso de la por encima de identidad (le da la opción de ahí que en la pregunta), y la aplicación de este, han terminado con:

$$ \frac1{p\sqrt{2\pi}}\mathcal L\big(\frac{\cos{t}}{\sqrt{t}}\big)$$

y $$ \frac1{p\sqrt{2\pi}}\mathcal L\big(\frac{\sin{t}}{\sqrt{t}}\big)$$

A partir de aquí, he golpeado una pared de ladrillos; he intentado buscar en varias mesas, y otras LT métodos, pero me parece que no puede encontrar uno que se va a hacer el truco aquí. No estoy muy seguro de cómo tratar con el resto de las transformadas de Laplace me queda.

Cualquier pequeño sugerencias / consejos que me puso de nuevo en la pista sería muy apreciada!!

EDITAR Después de usar Robert y jmerry los consejos, ahora tengo:

$$\mathcal L \left[C(t)\right] = \frac{\sqrt{2}}{4p} \left( \frac1{\sqrt{p-i}}+\frac1{\sqrt{p+i}}\right) $$

$$\mathcal L \left[S(t)\right] = \frac{-i\sqrt{2}}{4p} \left( \frac1{\sqrt{p-i}}-\frac1{\sqrt{p+i}}\right) $$ como mi resultado para C(t) y S(t). Por favor, compruebe para mí :)

Answer 1

Sugerencia: $\cos(\tau)$ es la parte real de la $\exp(i\tau)$, que se combinan con la $\exp(-p \tau)$ en una integral, y el uso de la definición de la función Gamma.

Answer 2

Así, la tabla que estoy buscando (en la Wikipedia) no tiene una correspondencia exacta, pero tiene varias entradas relacionadas que se pueden utilizar para construir esto. (Tabla utiliza la letra $s$ en lugar de $p$, pero es su problema; yo voy a ceder a su notación)

En todo lo que sigue, $u(t)$ denota la unidad de función de paso, $1$ positivos $t$ e $0$ negativos $t$. Esto es equivalente a tomar nuestro $t$ integrales de $0$ a $\infty$ en lugar de en toda la recta real.

$$\mathcal{L}\left(t^q\cdot u(t)\right) = \frac{\Gamma(q+1)}{p^{q+1}}$$ $$\mathcal{L}\left(e^{at}f(t)\right) = F(p-a)$$ Esa es una entrada en la tabla, además de la frecuencia de cambio de propiedad; $F$ es la transformada de Laplace de $f$. Sí, no nos lleva a $\sin$ directamente, pero podemos escribir $\sin$ como una combinación lineal de exponenciales complejas $\sin(t) = \frac1{2i}\left(e^{it} - e^{-it}\right)$. Por lo tanto, $$\mathcal{L}\left(\sin(at)f(t)\right) = \frac1{2i}\left(F(p-ai)-F(p+ai)\right)$$ Aplicado a nuestra transformación para el recíproco de la raíz cuadrada, que da $$\mathcal{L}\left(\sin(t)\cdot t^{-\frac12}\right) = \frac{\Gamma(\frac12)}{2i}\left(\frac1{\sqrt{p-i}}-\frac1{\sqrt{p+i}}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2i}\cdot\frac{\sqrt{p+i}-\sqrt{p-i}}{\sqrt{p^2+1}}$$ $$\mathcal{L}\left(\sin(t)\cdot t^{-\frac12}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{p^2+1}\left(\sqrt{p+i}+\sqrt{p-i}\right)}$$ Que es real, real $p$; simplemente no puede deshacerse de los números imaginarios en la expresión, mientras que el mantenimiento de un (algebraica) de forma cerrada.

Manejo de senos y cosenos en la transformada de Laplace se pone mucho más fácil cuando usted trae en el complejo exponencial, y permitir que para valores complejos de $p$.