La existencia de una inyección de $\Bbb N$ sin el axioma de elección

Question

Si usted tiene un conjunto $A$, y se cumple que para algunos $x\in A$, hay un bijection entre el$A$$A\setminus\{x\}$.

Eso no implica que no es una inyección de$\Bbb N$$A$? Esto es claramente cierto en ZFC, pero yo pregunto si es cierto que en ZF.

Answer 1

Sí. Esto es cierto en ZF. Si $A$ tiene esta propiedad, entonces decimos que el $A$ es Dedekind-infinito.

A ver que es cierto simplemente fijar una inyección de $f\colon A\to A\setminus\{x\}$, y definir $F\colon\Bbb N\to A$ como sigue:

$$F(0)=x; F(n)=f(F(n-1))$$

Tenga en cuenta que $F(1)=f(x)\neq f(f(x))=F(2)$, ya que el $x\notin A$ tenemos que $f(x)\notin\operatorname{rng}(f\circ f)$; y así sucesivamente podemos ver que $F$ es inyectiva.

Del mismo modo, si la inyección de $\Bbb N$ a $A$ existe, entonces podemos encontrar una inyección de $A$ a $A\setminus\{x\}$, pero voy a dejar esto como un ejercicio para usted.

---

Es trivial ver que, asumiendo el axioma de elección cada conjunto infinito es Dedekind-infinito, pero sin el axioma de elección es coherente que hay conjuntos infinitos que son no Dedekind-infinito. Los conjuntos son llamados Dedekind-finito y que tienen la propiedad de que todos los auto-inyectable es un bijection.

Curiosamente, es coherente que hay infinidad de Dedekind-finito de conjuntos que se pueden surjected a sí mismos con un elemento adicional.

Así que, aunque sostiene que si $X$ es finito, a continuación, $f\colon X\to X$ es inyectiva si y sólo si es surjective si y sólo si es bijective; esto no es necesariamente cierto para Dedekind-finito de conjuntos cuando el axioma de elección se produce un error.

Answer 2

Sí. Deje $\varphi:A\to A\setminus\{x\}$ ser un bijection. Definir $f:\Bbb N\to A$ recursivamente por $f(0)=x$, e $f(n+1)=\varphi\big(f(n)\big)$ $n\in\Bbb N$. $\mathsf{ZF}$ es suficiente para justificar la construcción de $f$. (Sets, con esta propiedad se dice que Dedekind infinito.)