Mostrar un $\arctan$ y $\arcsin$ la función es constante

Question

Demuestre que para cada $x\geq1$ lo siguiente es cierto: $2\arctan x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2} = \pi$

Una forma (mencionada en el enlace de abajo) sería calcular la derivada del lado izquierdo, demostrar que siempre es $0$ entonces demuestre que para $x=1$ la ecuación es verdadera. Hace tiempo que intento encontrar una forma más limpia de demostrar la igualdad, sin tanto álgebra. ¿Alguien tiene alguna idea de por dónde empezar?

Alguien ya mencionó el mismo problema aquí .

Answer 1

Esquema: Podemos hacerlo sólo con las identidades trigonométricas. Observe primero que $$\tan(2\arctan x)=\frac{2x}{1-x^2}.\tag{1}$$ A continuación, observe que $$\tan\left(\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)\right)=\frac{2x}{x^2-1} \tag{2}$$ porque $x\ge 1$ . Así que el lado derecho de (2) es el negativo del lado derecho de (1).

¡No hay derivados!

Answer 2

Podemos mostrar $\frac {2x}{1-x^2}=\tan 2 \arctan x = \tan (\pi-\arcsin \frac {2x}{1+x^2}=\tan \arcsin \frac {2x}{1+x^2})$ La igualdad de la izquierda viene de $\tan 2y = \frac {2 \tan y}{1-\tan^2 y}$ y el segundo de dibujar un triángulo rectángulo con un ángulo $\arcsin \frac {2x}{1+x^2}$ Como $\arctan$ es una biyección sobre este rango, hemos terminado.

Answer 3

Dejemos que $f$ sea la función

$$f(x)=2 \arctan x+\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$$

Obsérvese que la función arcoseno puede expresarse alternativamente como la función arctangente mediante $\arcsin y=\arctan \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}$ para $|y|<1$ .

Aquí, tenemos $y= \frac{2x}{1+x^2}$ para $|x|>1$ . Así,

$$\arcsin \frac{2x}{1+x^2}=\arctan \frac{2x}{|1-x^2|}=\arctan \frac{2x}{x^2-1}$$

También observamos que para $x>1$ , $\arctan x>0$ . Por lo tanto, tenemos

$$2 \arctan x=\pi+\arctan \frac{2x}{1-x^2}$$

desde $\arctan \frac{2x}{1-x^2}<0$ .

Finalmente, obtenemos el codiciado resultado

$2 \arctan x+\arcsin\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)=\pi$ .

Answer 4

Esto puede solucionarse mediante el uso de Identidades trigonométricas inversas

$$2\arctan(x) + \arcsin{\dfrac{2x}{1+x^2}} $$

$$\Rightarrow \arctan\dfrac{2x}{1-x^2} + \arctan\dfrac{2x}{x^2-1}$$

$$\Rightarrow \arctan\dfrac{2x}{1-x^2} + \arctan\dfrac{-2x}{1-x^2}$$

$$\Rightarrow \arctan\dfrac{0}{1+\Big(\dfrac{2x}{1-x^2}\Big)^2}$$

Ahora bien, como $x\geq 1$

$$ \Rightarrow \arctan(0) = \pi$$

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Supongo que también se puede utilizar André Nicolas ¡respuesta como una pista!

Answer 5

Si $x\geq 1$ entonces $x=\tan\frac{\theta}{2}$ para algunos $\theta\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)$ entonces: $$2\arctan x + \arcsin\frac{2x}{1+x^2} = 2\arctan\tan\frac{\theta}{2}+\arcsin\sin\theta=\theta+(\pi-\theta)=\pi. $$