Rango/determinante de la $n\times n$ matriz $((a_{ij}))$ donde $a_{ij}=(i+j-1)^2$

Question

Estoy tratando de encontrar el rango y el determinante de la siguiente $n\times n$ matriz :

$$A=\begin{bmatrix}1^2&2^2&3^2&\cdots&n^2 \\ 2^2&3^2&4^2&\cdots&(n+1)^2 \\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n^2&(n+1)^2&(n+2)^2&\cdots&(2n-1)^2 \end{bmatrix}$$

He comprobado que el determinante de a$A$ se desvanece para $n> 3$, lo que implica que $A$ tiene rango completo de $n\le 3$. Y el rango de lo que parece quedar $3$ para $n>3$. Pero yo no podía ofrecer una rigurosa prueba.

Es allí una manera de deducir el rango/determinante, sin reducir la $A$ a forma escalonada o cualquier otro acceso directo? O ¿cómo puedo encontrar fácilmente el número de filas linealmente independientes/columnas? Cualquier sugerencias sería genial.

Una pregunta relacionada con la: Determinante de la matriz de con $a_{i,j} = (i+j)^2$.

Answer 1

Tenga en cuenta que $(k+1)^2 - k^2 = 2k+1$. Por lo tanto, hemos $$ ((m+1)^2,(m+2)^2,\dots,(m+n+1)^2) = \\ (m^2,(m+1)^2,\dots,(m+n)^2) + (2m+1,2 m+3,\dots,2m+2n+1) $$ Conclusión (inductivamente, si te gusta) que los vectores $$ (1,2,\dots,n^2),(1,3,\dots,2n+1),(1,\dots,1) $$ lapso de la fila/columna espacio de $A$. O, si lo prefiere, puede utilizar la base $$ (1,\dots,1),(0,1,\dots,n-1), (0,1^2,\puntos,(n-1)^2) $$

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De manera más general: (creo que) como consecuencia de la de Newton interpolación de fórmula, el rango de la matriz $$ \pmatrix{f(1) y f(2) & \cdots & f(n)\\ f(2) y f(3) & \cdots & f(n+1)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f(n) y f(n+1) & \cdots & f(2n+1)} $$ tendrá rango equivalente al de la mayoría de $1 + \deg(f)$ (exactamente $1 + \deg(f)$, siempre que $n \geq 1 + \deg(f)$) para cualquier polinomio $f$.

Answer 2

El hecho de que la esquina superior izquierda $3 \times 3$ submatriz de a$A$ tiene determinante distinto de cero implica que las tres primeras columnas de a$A$ son linealmente independientes, lo que implica que el rango de $A$ es de al menos 3.

Por otro lado, la columna espacio de $A$ está contenida en la imagen de la aplicación lineal mapa que lleva a un polinomio cuadrático $p \in P_2(\mathbb{R})$ a $(p(1), p(2), \ldots, p(n))$. Desde $P_2(\mathbb{R})$ tiene dimensión 3, esto implica que el rango de $A$ es en la mayoría de los 3.