Encontrar los ceros y polos de funciones racionales sobre la curva elíptica

Question

La cuestión de forma explícita encontrar el orden de una función racional en una curva elíptica en el plano proyectivo en el infinito (es decir, en el punto de $(0, 1, 0)$) parece que todavía no está claro.

Por ejemplo, Silverman (en La Aritmética de Curvas Elípticas), se establece que el orden de la función racional $y$ en la curva elíptica \[ y^2 = (x - e_1)(x - e_2)(x - e_3), \] donde $e_1$, $e_2$, y $e_3$ son distintos, es $-3$. Es decir, la función $y$ tiene un polo de orden $3$$(0, 1, 0)$. No tengo ninguna duda de que esto es cierto; me gustaría saber de una manera sencilla, en función de las coordenadas proyectivas y es independiente del hecho de que la suma de los pedidos de los ceros de $y$ $3$ (lo que yo entiendo).

Answer 1

Esta bastante anticuado argumento es la forma en que me mira la situación. Homogeneizar $y^2=x^3+ax+b$$Y^2Z=X^3+aXZ^2+Z^3$, luego dehomogenize mediante el establecimiento $Y=1$ conseguir $\zeta = \xi^3 +a\xi\zeta^2+\zeta^3$. El punto que interesa ahora es $(0,0)$.

Lo que hace la curva aspecto hay? Claramente $\xi$ es un local uniformizer, y $\zeta$ tiene un triple cero allí. Si usted no ve que de inmediato, el uso de la ecuación que relaciona las dos cartas para ver que $\zeta$ se expande como una potencia de la serie que comienza $\zeta = \xi^3 + a\xi^7 +\cdots$. Ahora, ¿cuáles son los originales de $x$ $y$ en términos de$\xi$$\zeta$? Sí: $x=\xi/\zeta$$y=1/\zeta$, y hay.

Answer 2

En lugar de concentrarse en el cálculo del divisor de $y$, calcular primero el divisor de $x-e_i$$i=1,2,3$.

Primera homogeneizar a $Y^2Z=(X-e_1Z)(X-e_2Z)(X-e_3Z)$. Permítanos calcular el divisor de $x-e_1$ (los divisores de $x-e_2$ $x-e_3$ se calcula de la misma manera). La función original de $x-e_1$ es la función de $(X-e_1Z)/Z$ en coordenadas proyectivas. Pero, a partir de la ecuación de la curva vemos que $$\frac{X-e_1Z}{Z} = \frac{Y^2}{(X-e_2Z)(X-e_3Z)}.$$ Por lo tanto, es claro que la función de $(X-e_1Z)/Z$ tiene un doble polo a $[X,Y,Z]=[0,1,0]$ y un doble cero en $[e_1,0,1]$ porque $e_1\neq e_2$, e $e_1\neq e_3$, ya que la curva es no singular. Por lo tanto, $$\operatorname{div}((X-e_iZ)/Z) = \operatorname{div}(x-e_i) = 2P_i - 2\infty, $$ donde$P_i = [e_i,0,1]$$\infty=[0,1,0]$. Por lo tanto, $$ \operatorname{div}(y^2)=\operatorname{div}(x-e_1) +\operatorname{div}(x-e_2) +\operatorname{div}(x-e_3)=2P_1+2P_2+2P_3-6\infty$$ y $$ \operatorname{div}(y)=P_1+P_2+P_3-3\infty.$$