Simétrica integral de una función impar

Question

Recientemente me encontré con este problema en clase:

Determinar si $\int_{-\infty}^\infty\frac{x}{x^2+1}dx$ converge o diverge.

Mi primer pensamiento fue que desde $\frac{x}{x^2+1}$ es una función impar, y la integral es simétrico con respecto al eje y, entonces debe ser 0. Sin embargo, la respuesta dice que es incorrecto, y que la integral diverge, ya que tanto $\int_{0}^\infty\frac{x}{x^2+1}dx$ $\int_{-\infty}^0\frac{x}{x^2+1}dx$ divergen. Luego se dijo que es incorrecto decir que desde $\int_{-R}^R\frac{x}{x^2+1}dx = 0$, $\int_{-\infty}^\infty\frac{x}{x^2+1}dx$ también debe ser 0. ¿Por qué es este "mal"?

Answer 1

Por esa lógica, $\int_{-\infty}^\infty \sin(x)\mathrm{d}x = 0$, que no hay ninguna razón para suponer que debe ser cierto. Mirando a $\lim_{r\to\infty}\int_{-r}^r f(x)\mathrm{d} x$ es conocido como el Principio de Cauchy Valor. Además, esta respuesta habla acerca de la distinción alguna más.

La razón por la que eres diferente es que nos gusta $\int_a^c f(x)\mathrm d x = \int_a^b f(x)\mathrm{d}x+\int_b^cf(x)\mathrm{d}x$. Esto es ahora más cierto si evaluamos la integral como usted sugiere. En su lugar, definimos $\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x = \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^m f(x)\mathrm{d}x$. Ahora, todavía tenemos la propiedad que desea, y puede simplificar esta más a: $$\lim_{n\to\infty}\int_{-n}^0 f(x)\mathrm{d}x+\lim_{m\to\infty}\int_0^m f(x)\mathrm{d}x$$ Si ambos de estos existen, estamos bien. En su ejemplo, obtenemos $\infty$ $-\infty$ según los resultados, por lo que agregar les da un indeterminant forma, que no nos gusta.

Answer 2

¿Por qué es este "mal"?

El simétrica intervalo impar función de la regla de obras con finito de intervalos porque si divide a 0 y, a continuación, integrar, a continuación, usted esencialmente terminar con $I -I =0$. Pero la regla no se aplica a infinito de intervalos, ya que podría terminar con $\infty -\infty$, que es indeterminado y no (necesariamente) a cero. Eso no quiere decir que va a nunca ser cierto que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx =0$ por alguna extraña función de $f(x)$, sólo que no es siempre cierto.