Si $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = L$ entonces $\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{x} = L$

Question

Estoy tratando de resolver esta cuestión:

Dejemos que $f:[0,+\infty) \to \mathbb{R}$ sea derivable y $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = L$ entonces $\lim_{x\to \infty}\frac {f(x)}{x}=L$ .

Estoy intentando resolver esta cuestión utilizando la regla de l'Hôpital, pero no he podido utilizarla, porque no sé si $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ .

Necesito ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, la regla de L'Hôpital es aplicable y da fácilmente el resultado.

He aquí una prueba que no apela a la regla de L'Hôpital (aunque utiliza esencialmente la misma prueba que ese resultado).

Primero asuma $L$ es finito. Sea $\epsilon>0$ .

Por el Teorema del Valor Medio y la hipótesis de que $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} f'(x)=L$ Hay un número $a$ de manera que para todos $x>a$ $$\tag{1} L-\epsilon < {f(x)-f(a)\over x-a} <L+\epsilon. $$ Desde ${x-a\over x}=1-{a\over x}>0 $ para $x>a$ se deduce de $(1)$ que $$\tag{2} (L-\epsilon)\Bigl(1-{a\over x}\Bigr) < {f(x)\over x}- {f(a)\over x} < (L+\epsilon)\Bigl(1-{a\over x}\Bigr), $$ para $x>a$ .

Desde $\lim\limits_{x\rightarrow\infty} {f(a)\over x}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty }{a\over x}=0$ , se deduce de $(2)$ que $$ \textstyle \limsup\limits_{x\rightarrow\infty} {f(x)\over x}\le L+\epsilon \ \ \text{and}\ \ \liminf\limits_{x\rightarrow\infty} {f(x)\over x}\ge L-\epsilon. $$

Desde $\epsilon$ era arbitraria, tenemos $$\textstyle \limsup\limits_{x\rightarrow\infty} {f(x)\over x}\le L \ \ \text{and}\ \ \liminf\limits_{x\rightarrow\infty} {f(x)\over x}\ge L; $$ de donde se desprende el resultado.

Si $L=\infty$ el argumento es similar; pero se parte de un $M>0$ y luego encuentra un $a$ de manera que para todos $x>a$ , $$\tag{1} {f(x)-f(a)\over x-a} >M. $$ Entonces $$\ {f(x)\over x}- {f(a)\over x} >M\Bigl(1-{a\over x}\Bigr). $$ De esto se deduce que para $x$ suficientemente grande ${f(x)\over x}\ge M\cdot(1/2)-1/2. $ Desde $M$ era arbitraria, tenemos $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}{f(x)\over x}=\infty$ .

El argumento para $L=-\infty$ procede como en el argumento de $L=\infty$ .