Demostración del principio del módulo máximo mediante el teorema del mapa abierto

Question

He leído en Wikipedia que

"El principio del módulo máximo puede verse como un caso especial del teorema del mapeo abierto, que afirma que una función holomórfica no constante mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Si $|f|$ alcanza un máximo local en $a$ entonces la imagen de una vecindad abierta suficientemente pequeña de $a$ no puede estar abierto. Por lo tanto, $f$ es constante".

¿Podría alguien ampliar esta información? No entiendo por qué la imagen de un barrio abierto de una no sería abierta?

Answer 1

Si $\frak{U}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{C}$ entonces $|\frak{U}|$ no puede tener un elemento mayor. Por lo tanto, $|f(\frak{U})|$ no puede tener un elemento mayor ya que $f(\frak{U})$ está abierto.

Supongamos que $f$ alcanza su máximo en $\frak{U}$ esto significa que para algunos $z_0\in\frak{U}$ , $|f(z)|\le|f(z_0)|$ para todos $z\in\frak{U}$ . Así, $|f(z_0)|$ es el mayor elemento de $|f(\frak{U})|$ . Esto significa que $f(\frak{U})$ no está abierto. Por lo tanto, $f$ es constante.

Answer 2

Propuesta 1

Sea f analítica en un conjunto abierto U. Sea $z_0$ un miembro de $U$ sea un máximo para $|f|$ Es decir, $|f(z)_)\geq|f(z_0)$ para todos $z$ miembros de $U$ . Entonces $f$ es localmente constante en $z_0$

Prueba:

Desde $f$ es analítica tenemos $f= a_0 + a_1(z-z_0)+....$

Lo demostramos mediante la contradicción.

Si $f$ no es constante $a_0=f(z_0)$ entonces por el Teorema del Mapa Abierto sabemos que $f$ es un mapeo oppen por lo tanto la imagen de $f$ contiene un disco $D(a_0,s)$ . Por lo tanto, el conjunto de números $|f(z)|$ para z en una vecindad de $z_0$ contiene un intervalo abierto alrededor de $a_0$ s.t. $f(z)>f(z_0)$ . Pero eso es una contradicción, por lo tanto $f$ es localmente constante en $z_0$ .

Propuesta 2

Dejemos que $f,g,$ sea analítico en $U$ . Sea $S$ sea un conjunto de puntos en $U$ que no es discreto. Supongamos que $f(z)=g(z)$ para todos $z$ en $S$ . Entonces $f=g=$ en $U$ .

Prueba :

La prueba se encuentra en muchos libros de texto (como el Análisis Complejo de Serge Lang) y creo que es conocida por OP pero si es necesario puedo proporcionarla.

Declaración del principio del módulo máximo:

Dejemos que $U$ sea un conjunto abierto conectado, y sea $f$ sea una función analítica sobre $U$ . Si $z_0<U$ es un punto máximo para $|f|$ Es decir $|f(z_0)|\geq|f(z)|$ para todos $z∈U$ entonces $f$ es constante en $U$

Prueba Ahora para demostrar el principio del módulo máximo, por la Proposición 1 tenemos $f$ localmente constante en $z_0$ . Entonces, por la Proposición 2 $f$ es constante en $U$ (comparar $f$ con la función constante)