¿Por qué no usar relativista acción $L=-~mc^2\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$ mientras que el cálculo de la ruta integral de partículas libres?

Question

Sabemos que mientras se hace la ruta integral para una partícula libre que se mueve en una dimensión, $\textrm{Kernel}\propto \exp\left\{\frac{im\pi x^{2}}{hT} \right\}$ donde $x$ es el cambio en la posición en el tiempo $T$, $m$ es la masa del cuerpo y de la $h$ es la constante de Planck.

$$\implies K\propto \exp\left\{ {\frac{i\pi mvx}{h}}\right\},$$ where $v=\frac{x}{T}$.

Ahora, de acuerdo a la Ecuación de de Broglie, $\frac{mv}{h}=\frac{1}{\lambda}$

$$\implies K\propto \exp\left\{{\frac{i\pi x}{\lambda}}\right\}$$

Intuitivamente, esto significa que el Núcleo de una partícula en un punto está relacionado con la fase de la onda asociada con la partícula en el punto de toma clásica ruta para moverse.

Pero, sabemos que con más precisión, de Broglie Ecuación está dada por, $\frac{mv\lambda}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=h$

Así que, para conservar el significado físico de los Kernel, relativista acción de partículas libres $$L=-~mc^2\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$$ debe ser utilizado para evaluar la ruta integral.

Una razón práctica por la relativista acción es no utilizada es la que hará que cualquier problema verdaderamente complicado.

Entonces, mi pregunta es, idealmente hablando, no es el uso de relativista de acción correcto y necesario, mientras que el cálculo del Kernel en la Ruta Integral de la formulación de la Mecánica Cuántica?

Dado que la respuesta a la pregunta anterior es sí, tengo algunos puntos a tener en cuenta. Si utilizamos relativista de acción, a continuación, considerando las velocidades de movimiento mayor que la de la luz se volverá innecesario debido a la acción de dicha moción será imaginario. Esto debe algo nos exime de la obligación de considerar las rutas con infinita de velocidades en la ruta integral.

Pero la objeción puede ser levantado en contra de descuidar a velocidades superiores a la de la luz, mientras que haciendo la ruta integral. ¿Cómo puede un solo fotón interferir con la propia en el experimento de doble rendija si no tenemos en cuenta una de las rutas tomadas por los que tienen una velocidad más rápida que la de la luz para ponerse al día con el resto de ruta de acceso más corta? Podemos resolver este problema teniendo en cuenta que es el camino largo, en el que la partícula viaja a la velocidad de la luz, mientras que se tiende a perdurar y pierden un poco de tiempo en la ruta más corta para compensar la desigualdad en la longitud de los caminos.

La propuesta en el último párrafo se puede demostrar la verdad o falsedad de estudiar el patrón de interferencia de fotón único experimento de doble rendija en detalle. Lamentablemente, no pude encontrar la descripción detallada de patrón de interferencia en cualquiera de esos papeles que me encontré.

Answer 1

Quiero decir que soy consciente de que usted vino a la correcta relativista libre de partículas de Lagrange a través de la mecánica cuántica, pero, por supuesto, usted no tiene que venir a ella a partir de ese lugar.

Parafraseando, yo diría que su pregunta general es: "Supongamos que tenemos una doble rendija experimento, un emisor $E$ de los incendios de una partícula entre dos ranuras $S_1$, $S_2$ para algunos fuera del centro detector $D$ más cerca de la $S_1$. Específicamente, ya que es el centro queremos que haya una diferencia en las distancias $|S_1 - D| < |S_2 - D|$. Ahora supongamos que aguas arriba de $S_{1,2}$ somos de alguna manera de detectar el momento preciso en que la partícula se emite desde $E$, por lo que sabemos de su tiempo de tránsito a través de la ruta de acceso para el detector $D$, y tal vez podemos apagar la detección de algún tiempo entre (tal vez simplemente apagar el detector de forma aleatoria y, a continuación, el postprocesado para encontrar casos donde el detector en realidad apagado entre los dos conos de luz, cuando sólo las señales de una rendija que podría haber llegado a ella). Entonces: no podemos filtrar los datos a esta estrecha ventana de tiempo entre el momento en que las partículas de las ranuras 1 y 2 se detectan? ¿Qué podemos ver?"

Bueno, yo creo que este experimento es intencionalmente difícil de reproducir. La teoría de la respuesta es que, de hecho, si usted puede filtrar esta muy, muy corto intervalo de tiempo, estos datos deberían, idealmente, no muestran ningún patrón de interferencia: de hecho, el wavefunctions de los electrones están confinados dentro del cono de luz y los negativos (!) las energías necesarias para garantizar este aislamiento son la razón de que Dirac predijo positrones, así que hay que tener al menos un ejemplo de una confirmación experimental de las consecuencias de esta idea.

Probablemente el mejor programa de instalación sería incrustar un pequeño emisor de positrones dentro de un bloque de materia normal dentro de una caja en $E$, a continuación, comprobar que los fotones enredados emitida desde el otro lado: el electrón-positrón fotones de aniquilación debe tener casi enfrente de impulso con el fin de satisfacer la conservación del momento, y de modo que las direcciones son opuestas y usted sabe que el otro fotón se dirigió hacia el detector. A continuación, usted también sabe que la distancia de a $E$ desde el emisor en el otro lado y usted sabe que los fotones ambos viajaron a la velocidad de la $c$, por lo que tiene todo lo que usted necesita para una precisa medición de tiempo de la emisión.

Sin embargo creo que tiene problemas con la incertidumbre de aquí. Que es un tipo de espacio es necesario que la función de onda de un fotón no puede ser confinado dentro de una distancia de menos de un par de longitudes de onda; esta es la posición de impulso de la incertidumbre relación (recordemos que el impulso que precisamente define f y lambda, por lo que estamos hablando acerca de cómo puramente monocromática de la luz es con el impulso de la incertidumbre). Es de suponer que esto necesita un factor en un corto período de tiempo-la incertidumbre de cuando el fotón es probable que sea absorbido, y este tiempo de incertidumbre que deben ser del mismo orden que la brecha entre los tiempos de tránsito entre el $D$ $S_1$ vs $S_2$ debido a que la brecha es una proyección de la distancia entre las dos rendijas, pero se suelen ver este difracción cuando la brecha es de aproximadamente el tamaño de un par de longitudes de onda. Como se extendió fuera de las ranuras que se supone que hará que sea más difícil y más difícil para los fotones que va de $E$ hacia $S_{1,2}$ a golpear las dos rendijas a la vez.

Así que tengo la sensación de que la interferencia de doble rendija patrón sólo es posible precisamente porque todas las incertidumbres son tan amplios que no se puede normalmente hacer este experimento en la práctica, y cualquier intento de estrechar esas incertidumbres para eliminar el patrón de interferencia será necesariamente tienen una explicación alternativa en términos de los aros que había que saltar para llegar allí. La mecánica cuántica es muy difícil de "abajo" como ese.

Answer 2

El Lagrangiano relativista de una partícula libre es

$$L =\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}~\approx~ mc^{2} + \frac{1}{2}mv^{2} + O\left(\frac{v^{4}}{c^{4}}\right)$$