Hay un cardenal $\kappa$, con innumerables cofinality tal que $\kappa<\kappa^{\aleph_0}$? La pregunta está motivada por la observación de que $\kappa< \kappa^{{\rm cf}\kappa}$ cualquier $\kappa$.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Asumiendo $\sf GCH$, entonces la respuesta es no, casi trivial. Ya que en ese caso $\kappa^{<\operatorname{cf}(\kappa)}=\kappa$ por cada cardenal.
Si $\sf CH$ es falsa, entonces la $\aleph_1$ es un ejemplo; es posible que $\sf GCH$ es falso, pero sólo $2^{\aleph_1}=\aleph_3$ es un ejemplo, en cuyo caso, a pesar del fracaso de $\sf GCH$, la afirmación es verdadera.
Y es posible que los contraejemplos son de este sabor, y se producen en una etapa muy posterior (por ejemplo,$\aleph_{\omega_1+\omega}^{\aleph_0}=\aleph_{\omega_1+\omega+3}$, en cuyo caso $\aleph_{\omega_1+\omega+2}$ es un ejemplo).
Así que a partir de $\sf ZFC$ esto no es ni demostrable ni disprovable, y dependerá en gran medida de los supuestos adicionales.
