Curvas elípticas como los ceros de una ecuación de Weierstrass.

Question

Deje $\mathcal{L}$ ser un muy amplio invertible gavilla en un $\mathbb{K}$ -$X$. En particular, $\mathcal{L}$ induce un cerrado de incrustación $X\rightarrow \mathbb{P}^n$. De ello se desprende que $X\simeq \mathrm{Proj}(\mathbb{K}[X_0,\ldots,X_n]/I)$ para algunos homogénea ideal $I$$\mathbb{K}[X_0,\ldots,X_n]$$\mathcal{L}\simeq \mathcal{O}_X(1)$. Por lo tanto, $$ \mathbb{K}[X_0,\ldots,X_n]/I\simeq \bigoplus_{n\geq 0}H^0(X,\mathcal{S}_X(n))\simeq \bigoplus_{n\geq0}H^0(X,\mathcal{L}^{\otimes n}). $$ Quiero usar este para el estudio de curvas elípticas.

Si $X$ es una curva elíptica e $P_0\in X$, $\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(3\cdot P_0)$ es un muy amplio invertible gavilla con $h^0(X,\mathcal{L})=3$. Por lo tanto, se induce un cerrado de incrustación $X\rightarrow \mathbb{P}^2$ de manera tal que la homogeneidad de coordinar el anillo de los asociados cerrado subscheme de $\mathbb{P}^2$ es $$ \bigoplus_{n\geq 0} H^{0}(X,3n\cdot P_0). $$ Recordemos que $h^{0}(X,n\cdot P_0)=n$ por cada $n>0$. De acuerdo a Hartshorne del libro, $$ H^0(X,\mathcal{S}_X(2\cdot P_0))=\langle 1,x\rangle, $$ $$ H^0(X,\mathcal{S}_X(3\cdot P_0))=\langle 1,x,y\rangle, $$ $$ H^0(X,\mathcal{S}_X(6\cdot P_0))\supseteq \langle1,x,y,x^2,xy,x^3,y^2\rangle. $$ Desde $h^{0}(X,6\cdot P_0)=6$, se sigue que no tienen una relación lineal $$ F:=a+bx+cy+dx^2+exy+fx^3+gy^2=0. $$ Mi pregunta es, ¿cómo podemos saber que $1,x,y$ son los únicos elementos independientes en $\bigoplus_{n\geq 0} H^{0}(X,3n\cdot P_0)$? ¿Cómo sabemos que la ecuación anterior es la única relación entre ellos?

Cualquier ayuda o corrección en caso de que yo estaba entendiendo mal algo, se agradece.

$\textbf{Edit:}$ Creo que podemos usar la llamada Castelnuevo del lema para obtener el mapa $$ H^0(X,\mathcal{S}_X(3(n-1)\cdot P_0))\otimes H^0(X,\mathcal{S}_X(3\cdot P_0))\rightarrow H^0(X,\mathcal{S}_X(3n\cdot P_0)) $$ es surjective para cada $n\geq 2$. Por lo tanto, los elementos de $H^0(X,\mathcal{O}_X(3n\cdot P_0))$ son productos de los elementos de $H^0(X,\mathcal{O}_X(3\cdot P_0))$ para cada entero positivo $n$. Así, la única cosa que había dejado de demostrar es que no hay más relaciones entre $1,x,y$. Para ser más precisos, ¿cómo podemos demostrar que no existe ningún polinomio $G$ en el indeterminates $x,y$ que es cero como una función racional y no en el ideal generado por a $F$? En otras palabras, ¿cómo podemos demostrar que $$ \bigoplus_{n\geq 0} H^0(X,\mathcal{S}_X(3n\cdot P_0))\simeq \mathbb{K}[x,y]/\langle F\rangle ? $$

Answer 1

Voy a escribir "$z$" en lugar de "$1$" para el elemento de la $H^{0}(X,\mathcal{O}_{X}(n \cdot P_{0}))$. Supongo que hasta ahora hemos demostrado que no es gradual, surjective $\mathbb{K}$-álgebra de morfismos $$ \mathbb{K}[x,y,z]/\langle F\rangle \to \bigoplus_{n\geq 0} H^0(X,\mathcal{O}_X(3n\cdot P_0)) $$ so to show that it is an isomorphism it suffices to show that it is an isomorphism on each degree. Now it's just a matter of computing dimensions of $\mathbb{K}$-vector spaces. As you say we have $h^{0}(X,3n \cdot P_{0}) = 3n$ for $n > 0$, and we have $\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{K}[x,y,z])_{n} = \binom{n+2}{2}$ for $n \ge 0$ and $\dim_{\mathbb{K}} (\langle F \rangle)_{n} = \binom{n-1}{2}$ for $n > 0$, and so $\dim_{\mathbb{K}} (\mathbb{K}[x,y,z]/\langle F \rangle)_{n} = \binom{n+2}{2} - \binom{n-1}{2} = \frac{1}{2} ((n+2)(n+1) - (n-1)(n-2)) = 3n$ for $n > 0$. (Here if $M$ is a graded abelian group, then $M_{n}$ is the $$n th clasificados parte.)