Ecuación diferencial distributiva, de alguna manera relacionada con las distribuciones de soporte compacto

Question

Llevo unos días dándole vueltas a un problema de la Introducción a la teoría de las distribuciones de Friedlander: en el capítulo 3 (sobre distribuciones con soporte compacto), pide resolver la ecuación diferencial $x\partial u-\lambda u=0$ para la arbitrariedad $\lambda\in\mathbb{C}$ .

He visto que se afirma que una distribución $u\in\mathbb{R}^n$ es homogénea de grado $\lambda$ si satisface la ecuación de Euler, es decir $\sum x_i\partial_i u=\lambda u$ pero estos sólo se refieren al libro de Gel'fand y Shilov al que no tengo acceso. Además, este enfoque no parece el que pretendía el autor, dado el capítulo en el que se encuentra este problema.

Mi método consistía básicamente en intentar utilizar "factores integradores", pero claro, sólo hemos definido la multiplicación por funciones suaves, que $x_+^\lambda$ generalmente no lo es. Básicamente he visto sin pruebas a través de la búsqueda en línea que $u=Ax_+^\lambda+Bx_-^\lambda$ es la respuesta general, pero no consigo descifrarla, ni encontrar nada en este problema con soporte compacto. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Esbozaré varias ideas que se me ocurren y haré algunas observaciones sobre la validez del razonamiento.

En primer lugar, asumo que trabajamos en $\Bbb R$ .

Supongamos por un instante que $\lambda< -1$ . Tomamos una función de prueba $\phi$ multiplícalo por $x^{-\lambda-1}$ (por lo tanto, sigue siendo una función de prueba), y luego aplicarle las dos partes de nuestra ecuación. Tras unas sencillas modificaciones, llegamos a $$\langle(x^{-\lambda}u)',\phi\rangle=0,$$ que da como resultado $$x^{-\lambda}u=const.$$ Ahora tenemos una solución particular (en particular, la llamada $\mathrm{pf.}x^{\lambda}_+$ y $\mathrm{pf.}x^{\lambda}_+$ , partie finie d'Hadamard en Francia, no conozco el nombre en inglés). También hay soluciones generales, es decir, resolver $$x^{-\lambda}u=0.$$ Es fácil ver que el apoyo de $u$ en este caso (consulte su libro de referencia, el lema correspondiente debería estar allí; o simplemente demuestre, es un ejercicio, realmente) es exactamente $\{0\}$ . Por otro teorema clásico, la familia de soluciones está descrita por $$\sum_{j=0}^{[\lambda]}c_j\delta_{0}^{(j)},$$ donde $c_j$ son constantes y $[\lambda]$ es la parte entera de $\lambda$ .

Lo que no funciona tan bien en otros casos: si $\lambda$ es complejo, entonces $x^\lambda$ es una función multivaluada. Por otra parte, no podemos aplicar directamente el mismo método si $\lambda\ge-1$ .

Puede encontrar explícitamente las soluciones para $\lambda=0$ y $\lambda=-1$ .

Por otra parte, si una ecuación diferencial tiene una solución en sentido clásico, entonces esta solución es una solución en el sentido de las distribuciones.