$H$ orden $p$ normal en $G$ , g.c.d.$(|G|,p-1)=1$ para demostrar que $H \subseteq Z(G)$

Question

Si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo normal de $G$ de fin de $p$(prime) tales que

g.c.d.$(|G|,p-1)=1$ , entonces, ¿cómo demostrar que $H \subseteq Z(G)$ ?

Por favor no use el teorema de Sylow o teorema de Cauchy , quiero solución con Homorphism técnicas (extendido del teorema de Cayley también está permitido) . Gracias de antemano

Answer 1

Sugerencia: Si $C_{G}(H)$ denota la centraliser de $H$$G$, $G/C_{G}(H)$ incrusta en $\operatorname{Aut}(H)$.

Answer 2

Ok, voy a tratar de seguir la sugerencia de @James. Desde $|H|=p$ $p$ prime, tenemos $H \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$$\mathrm{Aut}(H) \simeq \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$. Deje $n$ ser el orden de $G$.

Siguiendo la pista, tenemos que $G/C_{G}(H)$ incrusta en $\mathrm{Aut}(H)$, y por lo $[G:C_{G}(H)] | p-1$ ; pero también se sabe que $[G:C_{G}(H)] | n $, por lo $[G:C_{G}(H)]=1$, que es la declaración de que estamos apuntando.

Estoy haciendo lo correcto ?

edit : prueba de la pista. Si $H$ es normal en $G$, entonces para cada a $g$ tenemos $ghg^{-1} \in H$, por lo que podemos definir $\phi : G \to \mathrm{Aut}(H)$ por $$\phi : g \to \big(h \to ghg^{-1} \big)$$.

Esta una de morfismos que kernel es, precisamente,$C_{G}(H)$, por lo que factorizes en una de morfismos $\tilde{\phi} : G/C_{G}(H) \to \mathrm{Aut}(H)$.