Desigualdad del coseno de tercer grado para el triángulo obtuso

Question

Supongamos que $\triangle ABC$ es un triángulo obtuso con longitudes de lado $a=BC, b=CA, c=AB$ . Quiero demostrar que $$a^3\cos A+b^3\cos B+c^3\cos C<abc.$$

Mi idea es utilizar la regla del coseno. Tengo $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ etc. Introduciendo la desigualdad obtengo

$$a^4b^2+a^4c^2-a^6+b^4a^2+b^4c^2-b^6+c^4a^2+c^4b^2-c^6<2a^2b^2c^2.$$

¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Utilizando $\sin2x,\cos2x$ fórmula

$$a^3\cos A=(2R\sin A)^3\cos A= 2R^3(2\sin^2A)(2\sin A\cos A)$$ $$=2R^3(1-\cos2A)\sin2A=R^3(2\sin2A-2\sin2A\cos2A)=R^3(2\sin2A-\sin4A)$$

Utilizando este , $\sum \sin2A=4\prod \sin A$

Ahora, $\sin4A+\sin4B+\sin4C=2\sin(2A+2B)\cos(2A-2B)+2\sin2C\cos2C$

Ahora, $\cos2C=\cos\{2\pi-2(A+B)\}=\cos2(A+B)$ y $\sin2(A+B)=\sin(2\pi-2C0=-\sin2C$

$\implies\sin4A+\sin4B+\sin4C=-2\sin2C\cos(2A-2B)+2\sin2C\cos2(A+B)$ $=-\sin2C\{\cos(2A-2B)-\cos(2A+2B)\}=-\sin2C\cdot2\sin2A\sin2B$ $=-2(2\sin C\cos C)(2\sin A\cos A)(2\sin B\cos B)$

Para un triángulo obtuso, sólo hay un ángulo entre $(\frac\pi2,\pi)$ por lo que exactamente uno de los cocientes del coseno $<0$ y todas las relaciones sinusoidales son $>0$

$\implies\sin4A+\sin4B+\sin4C>0$

$\implies\sum a^3\cos A <2R^3(\sum\sin2A)=2R^3(4\sin A\sin B\sin C)=\prod(2R\sin A)$

Answer 2

Aquí hay otra manera de seguir la idea de op:

para que sea fácil, $x=a^2,y=b^2,z=c^2,$ WOLG, deja $C$ es un triángulo obtuso, entonces $ x+y<z$ Queremos demostrar que..:

$x^2y+x^2z-x^3+y^2x+y^2z-y^3+z^2x+z^2y-z^3<2xyz$

que es demostrar: cuando $z>x+y$

$f(z)=-(x-y)^2(x+y)+(x-y)^2z+(x+y)z^2-z^3 <0$

ahora demostramos $f(z)$ es una función monodecreciente:

$f'(z)=(x-y)^2+2(x+y)z-3z^2$

$f''(z)=2(x+y)-6z<0 \implies f'(z)<f'(x+y)=-4xy<0 \implies f(z) <f(x+y)=0$