¿Diferencia entre tensor y campo tensorial?

Question

No entiendo la diferencia entre tensor y campo tensorial.

Estoy aprendiendo de la Geometría Semi-Riemann de Barret O'neill y aquí están las definiciones:

Si $A:(V^*)^r \times V^s\to K$ la transformación es $K$ -multilínea entonces $A$ es un tensor en $V$ .

$M$ es un colector, $\mathfrak{X}(M)$ es el conjunto de campos vectoriales que es un $F(M)$ -módulo.

Si $A$ es un tensor en $\mathfrak{X}(M)$ entonces decimos $A$ es un campo tensorial en $M$ .

No he entendido la última frase. ¿Cuál es la diferencia entre un tensor y un campo tensorial?

Answer 1

La diferencia está en tu cabeza. Literalmente.

La diferencia de llamar al mismo objeto $A$ un "tensor sobre $\mathfrak{X}(M)$ "en lugar de "un campo tensorial sobre $M$ "La primera enfatiza el hecho de que tenemos un objeto algebraico: un tensor sobre algún módulo, mientras que la segunda enfatiza el hecho de que subyacente al módulo hay algún colector y la geometría está sucediendo allí.

Llamar a algo campo tensorial en lugar de tensor obliga a recordar que $\mathfrak{X}(M)$ no es sólo un módulo arbitrario, sino que sus elementos pueden identificarse con secciones suaves del haz tangente de alguna variedad. Estas estructuras adicionales son ocasionalmente útiles.

Answer 2

Empecemos con algunas explicaciones sencillas.

Un tensor es "un objeto matemático análogo pero más general que un vector, representado por un conjunto de componentes que son funciones de las coordenadas de un espacio".

A cada punto del espacio se le puede asociar un conjunto de escalares llamado campo escalar y un grupo de vectores llamados a campo vectorial y también se puede asociar un conjunto de tensores que se llamaría campo tensorial .

Un campo tensorial tiene que ver con la noción de un tensor que varía de un punto a otro. Un escalar es un tensor de orden o rango cero , y un campo escalar es un campo tensorial de orden cero . Un vector es un tensor de orden o rango uno, y un campo vectorial es un campo tensorial de orden uno.

Algunos detalles matemáticos adicionales.

$\mathbb {R}^n$ es un espacio vectorial que representa las n-tuplas de reales bajo adición de componentes y multiplicación escalar .

Un colector es la extensión natural de una superficie a dimensiones superiores, y a espacios más generales que $\mathbb {R}^n$ .

Un campo tensorial en una determinada variedad M asigna a cada punto de M un tensor que se define en el espacio tangente en el punto dado.

Más concretamente, un campo tensorial de tipo $\left(\begin{array}{c}r \\s \\\end{array}\right)$ en un colector M es un mapeo $T$ tomando r campos diferenciales y s campos vectoriales en M a funciones de valor real $f$ de la clase $C^k$ (que tiene derivadas parciales continuas de cierto orden $k$ en cada punto ) en $\mathbb {R}^m$ .

Véase también mi respuesta relacionada:

https://www.quora.com/In-laymans-terms-what-is-a-Tensor-Field/answer/Emad-Noujeim

Answer 3

Una vez que se sabe lo que es un tensor podemos definir un campo tensorial variándolo sobre un espacio de la misma manera que pensamos en un campo vectorial.

Hay dos formas de introducir los vectores en las matemáticas,

• geométricamente como líneas orientadas

• y algebraicamente siguiendo los axiomas de un espacio vectorial.

• La física de los materiales continuos y la RG añaden una tercera, su definición transformacional a través de sus componentes. Esto se basa en el grupo de simetría local del espacio.

Lo mismo podemos hacer con los tensores, es decir, tienen una definición geométrica, algebraica y de transformación. Aquí me concentraré en la geométrica.

Los vectores suelen introducirse como una longitud dirigida.

Un 2-tensor, geométricamente hablando, es básicamente un área dirigida. Se definen dando dos vectores y éstos forman las aristas del paralelogramo, que consideramos exactamente el 2-tensor. Cuando se generaliza a espacios superiores, Lang los llama bloques. Así que este paralelogramo es un 2-bloque. Podemos ver geométricamente, que el 2-bloque depende linealmente de las dos aristas. Por lo tanto, tenemos la 2-linealidad.

Mientras que un vector puede escalar en una sola dirección, un 2-tensor puede escalar en dos direcciones independientes; sin embargo, un 2-tensor puede también internamente la escala. Es decir, podemos encoger una arista en un factor s, y expandir la otra arista en el mismo factor y esto dará el mismo tensor. Este fenómeno no se ve en los 1-tensores, también conocidos como vectores, ya que sólo hay una dirección.

Ahora bien, aunque los vectores se introducen como longitudes dirigidas, la longitud de un vector es en realidad una información adicional: es la norma. Por lo tanto, debemos pensar en un vector como un escalar dirigido; y un 2-tensor como un 2-escalar dirigido. Lo mismo ocurre con los tensores superiores.

De hecho, hay dos nociones de longitud disponibles para los vectores. Una es la noción de longitud no orientada, la norma, y ésta es la noción habitual de longitud; y la segunda son las nociones de longitud orientadas. Se trata de elementos del espacio dual y suelen conocerse como covectores. Físicamente, representan la energía potencial de una partícula que se mueve a lo largo del vector en un campo gravitatorio uniforme.

En el caso de los tensores, la norma no es la longitud no orientada, sino la versión orientada. Esto es lo que se conoce como k-covectores (aunque en realidad deberían llamarse aquí k-cotensores, ya que los k-covectores suelen ser alternativos). Desde el punto de vista geométrico, esto da el área orientada real de un elemento de área - es un número, mientras que el elemento de área, como un vector, es geométrico.

Categóricamente, un tensor está definido por un determinado diagrama y esto dice simplemente que cualquier función de área en las aristas definidoras es la misma que una función de área en el bloque del tensor.

---

Un campo tensorial es entonces un campo de tensores, es decir, una distribución de tensores que varía suavemente sobre una variedad.

---

Desde el punto de vista del formalismo, sea M una colmena

Entonces XM, el haz de campos vectoriales, es el haz de tramos del haz tangente TM sobre M, la colecta base. Y es un módulo sobre CM, el espacio de las funciones suaves sobre M. De hecho, una gavilla de módulos.

Si escribimos $X^p_q$ .M, para el conjunto de campos tensoriales de tipo $ (p,q)$ que es p-contravariante, y q-covariante, entonces esta es la gavilla de secciones de la $(p,q)$ -paquete de tensores $(x)^p_q.M := [(x)^p.TM] (x) [(x)^q.T*M].$ Estos también son módulos sobre CM.

---

Probablemente sea útil darse cuenta de que el cálculo de formas diferenciales es básicamente lo mismo que los campos tensoriales covariantes antisimétricos.