Expectativa de la cantidad de puntos dentro de un cuadrado de un rectángulo

Question

Considere la posibilidad de un rectángulo (negro) en la siguiente imagen. Permite tomar cuatro aleatoria de puntos uniformemente en cada uno de los bordes, a continuación, conectar los puntos, uno después de otro (líneas rojas) para obtener un cuadrangular dentro del rectángulo.

Si ponemos un juego de azar puntos ($n$ puntos) de manera uniforme en el interior del rectángulo , me gustaría saber ¿cuál es la esperanza matemática del número de puntos que se encuentran dentro de la zona roja?

Desde la posición de los puntos rojos son al azar, yo realmente no pueden resolver este problema.

La probabilidad de que cada punto cae en la zona roja, es el área de red_line dividido por el área del rectángulo. Ya que la zona en sí es un proceso aleatorio, por lo que tenemos que calcular la expectativa de la zona de la línea roja.

Gracias de antemano.

Answer 1

WLOG, yo soy la solución para que una unidad cuadrada.

Deje que los cuatro vértices de ser en las coordenadas $x,x',y,y'$ en los lados respectivos. El área del cuadrilátero es $1$ menos las áreas de las cuatro esquinas,

$$A=1-\frac{xy+(1-x)y'+x'(1-y)+(1-x')(1-y')}2=\frac{1-(x-x')(y-y')}2.$$

Como $x,x',y,y'$ son uniformes independientes de variables aleatorias, sus pares diferencias siga independiente distribuciones triangulares, centrada en $0$, y la expectativa de que el producto es el producto de las expectativas.

Por lo tanto, $$E(A)=\frac12.$$

Answer 2

Una forma de hacerlo:

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Deje que los vértices del rectángulo ser $(0,0),(w, 0),(0, h),(w, h)$.

A continuación, el $4$ puntos rojos son $(0, r_1h),(w, r_2h), (r_3w,0), (r_4w,h)$ donde $r_n$ están distribuidos de manera uniforme números aleatorios entre el$0$$1$.

El área de un particular cuadrilátero es

$$\textrm{Area of rectangle} - \textrm{Area of 4 triangles}=hw\left(1-\frac{1}{2}(r_1r_3+r_2(1-r_3)+(1-r_1)r_4+(1-r_4)(1-r_2))\right)$$

$$=hw\left(1-\frac{1}{2}(r_1r_3+r_2-r_2r_3+r_4-r_1r_4+1-r_2-r_4+r_2r_4)\right)$$

$$=hw\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(r_1r_3-r_2r_3-r_1r_4+r_2r_4)\right)$$

$$=hw\left(\frac{1}{2}(1-(r_1-r_2)(r_3-r_4))\right)$$

El número esperado de puntos dentro de una determinada cuadrilátero es $n\left(\frac{\textrm{Area of quadrilateral}}{\textrm{Area of rectangle}}\right)$

Entonces queremos integrar entre $0$ $1$ por cada $r_n$ encontrar el final de la espera que nos da:

$$E(\textrm{Number of Points})=\int^1_0\int^1_0\int^1_0\int^1_0{n\left(\frac{\textrm{Area of quadrilateral}}{\textrm{Area of rectangle}}\right)\,\,\,dr_1dr_2dr_3dr_4}$$

$$=\frac{n}{2}-\frac{n}{2}\int^1_0\int^1_0\int^1_0\int^1_0{(r_1-r_2)(r_3-r_4)\,\,\,dr_1dr_2dr_3dr_4}$$

$$=\frac{n}{2}-\frac{n}{2}\int^1_0\int^1_0\left(\int^1_0r_1\,\,\,dr_1-\int^1_0r_2\,\,\,dr_2\right)(r_3-r_4)\,\,\,dr_3dr_4$$

$$=\frac{n}{2}$$