¿Existe?

Question

Tengo un problema con este ejercicio

¿Este límite existe?

$$\lim\limits_{x\to0} \operatorname{sgn} (x)$$

este límite existe y su valor es$0$, según nuestro libro de texto. También está escrito, que nos puede demostrar mediante el uso de límites laterales. Y no es un problema, porque como yo lo veo

$$\lim_{x\to0^-} \operatorname{sgn} (x) = -1$$

$$\lim_{x\to0^+} \operatorname{sgn} (x) = 1$$

(Debido a que el límite sigue muy de cerca a $0$, pero nunca la alcanza. Yo también creo que es muy similar a la prueba de la no existencia $\displaystyle \lim_{x\to0} \sin\frac 1 x$)

También probé en línea de límite de calculadoras y dijo, que uno de los límites laterales es igual a $0$.

Podría usted ayudarme a encontrar un problema en mi enfoque?

Gracias por su tiempo!

Answer 1

Si el libro dice que el límite es$0$, entonces es incorrecto.

Si$\lim\limits_{x\to0+}$ y$\lim\limits_{x\to0-}$ existen ambos (como números finitos) y no son iguales entre sí, entonces no existe$\lim\limits_{x\to0}$.

En algunos contextos, podría tener sentido decir que existe como un "valor principal", tomando un promedio:$\displaystyle \frac 1 2 \left( \lim_{x\to0+} + \lim_{x\to0-} \right),$, pero eso no es lo que se hace convencionalmente cuando se introduce por primera vez el concepto de límite, y lo permitiría. solo cuando el contexto para ello se haya establecido explícitamente.