Converse del Weierstrass $M$ -¿Prueba?

Question

Me asignaron algunos problemas en mi clase de Cálculo II con honores, y uno de ellos era bastante interesante de hacer:

Supongamos que $f_{n}$ son funciones acotadas no negativas sobre $A$ y que $M_{n} = \sup f_{n}$ . Si $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty f_{n}$ converge uniformemente en $A$ ¿se deduce que $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty M_{n}$ converge (lo que es inverso a lo que ocurre con Weirstrass $M$ -prueba)?

Sé que esta pregunta ha sido preguntó antes Pero estoy tratando de no copiar una respuesta de Internet y, en su lugar, inventar un ejemplo propio para ver si realmente puedo entender los teoremas que estoy aprendiendo.

Para dar un contraejemplo, he intentado crear una función que tiene una divergencia $\sup$ pero no estoy muy seguro de que mi prueba sea válida. Aquí va:

$$ \text Let \ f_{n}(x) = \begin{cases} \begin{cases} \frac{1 + x}{2}, & \text{if }x \in (-1,0]\\ \frac{1 - x}{2}, & \text{if }x \in (0,1)\\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}, & \text{if }n \text{ even}\\ \begin{cases} x, & \text{if }x \in (0,1]\\ 2 - x, & \text{if }x \in (1,2)\\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}, & \text{if }n \text{ odd} \end{cases} $$

Ahora, $\text Let f(x) = 0$ .

A partir de esta definición, puedo concluir que $$ \sup\{f_{n}\} = \begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{if }n \text{ even}\\ 1, & \text{if }n \text{ odd} \end{cases} $$

Ahora, para demostrar que ${f_{n}(x)}$ es uniformemente convergente, se utiliza la definición de convergencia uniforme:

$$ \forall_{\epsilon > 0}\ \exists_{N}\ \text s.t.\ \forall_{x}\ \text if\ n > N, |f(x) - f_{n}(x)| < \epsilon $$

Desde $f_{n}(x)$ es estrictamente no negativo y $f(x) = 0$ , $|f(x) - f_{n}(x)| = f_{n}(x)$ . Por definición, $\epsilon > 0$ y como $f_{n}(x) = 0$ para $x \geq 2, f(x) - f_{n}(x) = 0 < \epsilon$ para $x \geq 2$ . Por lo tanto, existe un $N$ (A saber, $N = 1$ ) que demuestra que la secuencia es uniformemente convergente.

Desde $\lim_{n\to\infty} f_{n} \neq 0$ por la prueba del límite, la suma infinita $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \sup{f_{n}}$ diverge, lo que refuta la inversa de la teoría de Weierstrass $M$ -Prueba. $\blacksquare$

Es la primera vez que utilizo LaTeX, así que siento el aspecto que tiene. ¿Hay algo que pueda hacer para que esta prueba sea mejor (o incluso válida, si está mal), o está bien como está?

Esta puede ser una pregunta un poco larga...

Answer 1

La antimateria se produce constantemente en los aceleradores de partículas del mundo. También se produce de forma natural durante las cascadas de lluvia de aire causadas por las partículas de los rayos cósmicos y los rayos gamma que interactúan en la atmósfera y cuando estas mismas partículas interactúan en los detectores de partículas.

Uno de los métodos más sencillos para demostrar su existencia es el utilizado por el detector de rayos cósmicos del satélite Pamela. En este detector, hay un blanco con el que interactúan los rayos cósmicos (y los rayos gamma). A continuación, las partículas atraviesan un fuerte campo magnético. Como la trayectoria de las partículas cargadas en movimiento se curva en presencia de un campo magnético, pueden ver dónde entró la partícula y dónde chocó con el objetivo final, que es un calorímetro que mide la energía.

Los electrones entran en el detector y se curvan en una dirección. Los positrones, la antipartícula positiva del electrón, entran en el detector y se curvan en la otra dirección. Tienen la misma masa y energía pero cargas opuestas y esto se puede medir fácilmente demostrando que los positrones existen.

El mismo principio se utiliza para detectarlas en los aceleradores de partículas de todo el mundo.