Demuestre que los enteros$x$,$x+6$,$x+12$,$x+18$,$x+24$ solo pueden ser primos si$x$ es$5$.

Question

Demuestre que los enteros$x$,$x+6$,$x+12$,$x+18$,$x+24$ solo pueden ser primos si$x$ es$5$.

Soy muy nuevo en las pruebas y no estoy completamente seguro de cómo abordar esto. Probé varios valores diferentes para$x$ distintos de$5$ y encontré valores que no son primos. Sin embargo, no veo cómo podría generalizar esta pregunta para demostrar que funciona si$x$ es$5$.

La ayuda sería apreciada.

Gracias :)

Answer 1

Sugerencia: demuestre que uno de los números es un múltiplo de$5$. Una forma de hacerlo: escribir$x=5k+r$.

Answer 2

$x\bmod5=x\bmod5$
$(x+6)\bmod5=(x+1)\bmod5$
$(x+12)\bmod5=(x+2)\bmod5$
$(x+18)\bmod5=(x+3)\bmod5$
$(x+24)\bmod5=(x+4)\bmod5$

así que si$x\ne5$, entonces$5$ debe dividir uno de los cinco enteros, y no puede ser$5$ en sí mismo, por lo que debe ser compuesto.

Answer 3

SUGERENCIA: intente$x\equiv 0,1,2,3,4\mod 5$ funciona solo$x=5$