Deje $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ ser un número de la teoría de la función de la satisfacción de $ f(xy) = f(x) + f(y) $ siempre $ \gcd(x,y) = 1 $.
Cómo puedo probar que $$ \sum_{\substack{p ~ \text{prime}; \\ p \leq n}} f(p) \frac{p}{n} \bigg\lceil \frac{n}{p} \bigg\rceil \left\{ \frac{n}{p} \right\} \sim \frac{1}{2} \sum_{\substack{p ~ \text{prime}; \\ p \leq n}} f(p), $$ es decir, la relación de estas dos cantidades, como $ n $ tiende a $ \infty $, es igual a $ 1 $?
Notación: $ \lceil \cdot \rceil $ denota el techo de la función, y $ \{ \cdot \} $ las fracciones de la función de la pieza.
Si alguien podía simplificar el problema, ni siquiera probarlo, me sería de gran aprecio.
También, no sé si las siguientes relaciones podrían ayudar en una prueba/simplificación: \begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \bigg\lceil \frac{n}{k} \bigg\rceil \left\{ \frac{n}{k} \right\} &= \frac{1}{2}, \\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{\substack{p ~ \text{prime}; \\ p \leq n}} \frac{p}{n} \bigg\lceil \frac{n}{p} \bigg\rceil \left\{ \frac{n}{p} \right\} &= \frac{1}{2}. \end{align}
