Resumiremos nuestra forma de obtener las cantidades en cuestión.
La manera más fácil para obtener la velocidad del sonido es de continuo mecánica. Suponiendo isentrópica de flujo y las pequeñas perturbaciones de la velocidad y la densidad y alinear Euler (o Navier-Stokes) y la continuidad de las ecuaciones obtenemos
$$ v_s^2=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s,$$
donde la derivada de la presión se da en la constante de la entropía. Para un gas ideal que
ha adiabático ecuación en la forma $p/\rho^\gamma = \mathrm{const}$ que significa
$$
v_s = \sqrt{\frac {\gamma p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma\, k \, T}{m}},
$$
donde $k$ es la constante de Boltzman, $T$ temperatura y $m$ es la masa de la molécula.
El rms de la velocidad se obtiene a partir de la mecánica estadística de los gases con Maxwell–Boltzmann distribución:
$$
v_m = \sqrt{\frac{3 \,k \, T}{m}},
$$
aquí el factor 3 en virtud de la raíz cuadrada es la consecuencia de 3 dimensiones de nuestro mundo.
Con el fin de aclarar la relación entre los dos velocidades se puede considerar que la teoría de que incluye tanto el sonido de la onda de propagación y estadísticas de distribución de velocidades moleculares. Esa sería la teoría cinética y en particular de la ecuación de Boltzmann:
$$
\frac{\partial}{\partial t} f+(v\cdot \nabla) f=\mathrm{St},
$$
donde $f=f(\vec{r},\vec{v},t)$ es la función de densidad y $\mathrm{St}$ en el lado derecho (de Stosszahlansatz) es la integral de colisión operador.
Si tenemos en cuenta el sonido de la onda que se propaga a lo largo de la dirección de la $x$, entonces su función de densidad tendría la forma $f(x-v_s\,t, v_x, v_y, v_z)$ (a $t$ dependencia en el primer argumento y sin dependencia de la $y$$z$). Sustituyendo esto en la ecuación de Boltzmann obtenemos
$$ - v_s\frac{\partial }{\partial x} f + v_x \frac{\partial}{\partial x} f=\mathrm{St}.$$
No, sólo de la forma de la ecuación podemos ver, que si suponemos que la rapidez rms $v_m$ es el aumento de la $\alpha$ veces (por reescalado de la función de densidad de $f' =\alpha^{-3} \cdot f(x-v'_s t,\alpha \vec{v})$), $v_s$ también debe ser aumentado de acuerdo para mantener la solución. Así que podemos concluir que el $v_s / v_m = \mathrm{const}$.
Este es, por supuesto, válido si consideramos que el término colisión en rhs también se transforma de acuerdo con esto o si simplemente se podía descuidar los rhs en una primera aproximación, que debe sostener por gases enrarecidos. Otro caso es el de la rigidez de la esfera de aproximación para las colisiones que se proporciona un modelo de transformación, por lo $v_s/v_m $ deben ser independientes de la temperatura allí (pero, obviamente, si la densidad es lo suficientemente grande como en este caso va a ser que dependen de él).
Aquí es aleatorio ejemplo de papel que se considera que la onda sonora que se propaga en el marco de la ecuación de Boltzmann: R. D. M. García, C. E. Siewert, 'La linearización de la ecuación de Boltzmann: sonido de la propagación de ondas en un gas enrarecido', DOI:10.1007/s00033-005-0007-8 (sólo la primera de Google scholar resultados que tiene origen en línea).
