Actualmente estoy optimizando un algoritmo estadístico y quiero asegurarme de que la suposición que estoy haciendo es correcta. Sea$E_j$ una secuencia finita de matrices complejas$n \times n$ que satisfagan:$\sum_j E_j E_j^\dagger=I.$ If$$\sum_j \overline{E_j AE_j^\dagger}=\sum_j E_j AE_j^\dagger$$ for all symmetric real matrices $ A$, can we conclude that $ \ overline {E_j AE_j ^ \ dagger} = E_j AE_j ^ \ dagger$ for all $ j$? Here the bar denotes the complex conjugate and the dagger is the adjoint. I believe this is true as we can rewrite the equality as $$\sum_j \overline{E_j} AE_j^T-E_j AE_j^\dagger=0$$ for all $ A$ where $ E_j ^ T$ denotes the transpose of $ E_j$ and I'm not sure how else we could construct a sequence of matrices that would hold for any given $ A PS
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Básicamente se está preguntando si las condiciones que $\sum_jE_jAE_j^\dagger$ es real para cada real simétrica $A$ y $\sum_jE_jE_j^\dagger=I$ implicaría que $E_jAE_j^\dagger$ también es real para cada $j$ y por cada real simétrica $A$. La respuesta es negativa. Aquí es un contraejemplo. Vamos $$ E_1=\frac1{\sqrt{3}}\pmatrix{1-i\\ &i},\quad E_2=\frac1{\sqrt{3}}\pmatrix{i\\ &1-me}, \quad A=\pmatrix{a&b\\ c&d}. $$ Entonces $$ \begin{align*} E_1AE_1^\dagger &=\frac13\pmatrix{1-i\\ &i}\pmatrix{a&b\\ c&d}\pmatrix{1+i\\ &-i} =\frac13\pmatrix{2a&(-1-i)b\\ (-1+i)c&d}\tag{1}\\ E_2AE_2^\dagger &=\frac13\pmatrix{i\\ &1-i}\pmatrix{a&b\\ c&d}\pmatrix{-i\\ &1+i} =\frac13\pmatrix{a&(-1+i)b\\ (-1-i)c&2d}\tag{2}. \end{align*} $$ Por lo tanto $$ E_1AE_1^\daga+E_2AE_2^\daga =\frac13\pmatrix{3a&-2b\\ -2c&3d}, $$ lo que es real para cada una de las $A$ (no sólo para el simétricos), pero de $(1)$, es obvio que $E_1AE_1^\dagger$ no es real siempre $A$ es real, pero no en diagonal.
Deje $U=[u_{i,j}]\in M_n(\mathbb{C})$ y deje $(E_{i,j})$ ser la base canónica de $M_n(\mathbb{R})$. La primera cosa a hacer es ver cuál es el significado de
para cada una matriz simétrica $A\in M_n(\mathbb{R})$, $\overline{U}AU^T=UAU^*$.
Tenga en cuenta que $(E_{i,j}+E_{j,i})$ es una base de más de $\mathbb{R}$ de la de espacio vectorial simétrica real de las matrices.
para cada $k,l,i,j$, uno ha $\overline{u_{k,i}}u_{l,j}+\overline{u_{k,j}}u_{l,i}\in\mathbb{R}$. En particular, cuando $i=j$, $\overline{u_{k,i}}u_{l,i}\in\mathbb{R}$.
No es difícil de encontrar (hasta los eventuales errores) que $U$ tiene una de las siguientes dos formas:
Caso 1. $U=e^{i\theta}V$ donde $\theta\in \mathbb{R},V\in M_n(\mathbb{R})$.
Caso 2. $U=[a_1,\cdots,a_n]^T[b_1e^{i\theta_1},\cdots,b_ne^{i\theta_n}]$ cuando la $a_i's,b_i's,\theta_i's\in\mathbb{R}$.
