¿Esta prueba es correcta? Probar que una función continua, periódica y no constante tiene un período más pequeño

Question

Tengo que probar, como un ejercicio, que todo real, continua, periódica y no constantes de funciones no han arbitrariamente un pequeño periodo de tiempo. Este fue mi intento:

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ ser una de las funciones para el cual la hipótesis de que el problema se mantenga. Desde $f$ no es constante, hay $z,y\in \mathbb{R}$ tal que $f(z)\neq f(y)$, lo que implica que $|f(z)-f(y)|=D>0$. Supongamos, WLOG, que $z>y$, y que no ser $0<\epsilon<D$. Desde $f$ es continua, existe $\delta>0$ tal que $$|x-z|<\delta \implies |f(x)-f(z)|<\epsilon. $$ Ahora, supongamos que por el bien de la contradicción que hay no menos de período. Existe, entonces, un período de $T$ $f$ tal que $T<2\delta$. La siguiente cadena de implicaciones tiene: $$ 0<T<2\delta \implies \frac{2\delta}{T}>1 \implies \frac{(z-y+\delta)}{T}-\frac{(z-y-\delta)}{T}>1 \implies \exists n \in \mathbb{N}:$$$$\frac{z-y-\delta}{T}<n<\frac{z-y+\delta}{T}\implica z-y-\delta<nT<z-y+\delta \implica |y+nT-z|<\delta \implica |f(y+nT)-f(z)|=|f(y)-f(z)|=D<\epsilon. $$ But this is a contradiction, because we supposed at the beginning that $D>\epsilon$.

Puede detectar cualquier error que he pasado por alto? Podría la escritura ser mejorado? Cómo considera que sería si hubiera sido escrito en un examen en papel?

Answer 1

Publicado prueba se ve bien. Para un enfoque alternativo, supongamos que no hay más pequeño (positivo) período. A continuación, debe existir una disminución de la secuencia $T_1, T_2, \cdots$ de los períodos de con $lim_{n \to \infty} \;T_n = 0$.

Para cualquier $x$, definir la secuencia de $x_1 = x$$x_{n+1} = x_n - T_n \; \lfloor \frac{x_n}{T_n} \rfloor$$n \ge 1$. Entonces:

• $0 \le x_{n+1} \lt T_n$ $n \ge 1$ , por definición, de $\lfloor \cdot \rfloor$

• $f(x) = f(x_1)$ , por definición,

• $f(x_{n+1}) = f(x_n)$ porque $x_{n+1}-x_{n}$ es un múltiplo de a $T_n$, lo $f(x) = f(x_n)$ $\forall n \ge 1$

De ello se desprende que $\lim_{n \to \infty} x_n = 0$, y por la continuidad de $f$ que$f(x) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(0)$, de modo que $f$ es una función constante, que contradice la hipótesis.

Answer 2

Creo que has terminado después de encontrar$\delta$.

Cualquier período debe incluir tanto$f(y)$ como$f(z)$, pero localmente no lo hace debido al requisito de función continua.