Valores propios y vectores propios del producto de Hadamard de dos matrices definidas positivas

Question

El producto de componentes (producto de Hadamard) de dos matrices definidas positivas es una matriz definida positiva ( Teorema del producto de Schur ). Me encontré con la siguiente prueba de ello:

$A=(a_{ij})$ y $B=(b_{ij})$ son positivas definidas. Sea $a_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1}^N \lambda_k t_{ik} t_{jk}$ donde $T=(t_{ij})$ es una matriz ortogonal y $\lambda_k$ son los valores propios de $A$ . $$\sum_{i,j=1}^N a_{ij} b_{ij} x_i x_j = \sum_{i,j=1}^N b_{ij} x_i x_j \left( \sum_{k=1}^N \lambda_k t_{ik} t_{jk} \right) = \sum_{k=1}^N \lambda_k \left( \sum_{i,j=1}^N b_{ij} x_i t_{ik} x_j t_{jk} \right)$$ y por lo tanto mostrando $$\sum_{i,j=1}^N b_{ij} x_i t_{ik} x_j t_{jk} >0$$ es suficiente.

¿Existe una relación geométrica simple entre los valores y vectores propios de $C=(a_{ij} b_{ij})$ y los valores y vectores propios de $A$ y $B$ que explique la motivación geométrica de esta prueba?

Answer 1

En general, no, no hay ninguna relación entre los valores propios/vectores de $A$ , $B$ y su producto Hadamard $A\circ B$ . Véase, por ejemplo, el comentario votado aquí .

Creo que el artículo de Wackypedia que citas sobre el teorema del producto de Schur tiene un buena sección sobre cómo utilizar los valores propios/vectores de $A$ y $B$ para mostrar $A\circ B$ es positiva definida. Comienza con el conocimiento de $A = \sum \alpha_i x_i x_i^T$ y $B = \sum \beta_i y_i y_i^T$ . Entonces $$A \circ B = \sum_{ij} \alpha_i \beta_j (x_i x_i^T) \circ (y_j y_j^T) = \sum_{ij} \alpha_i \beta_j (x_i \circ y_j) (x_i \circ y_j)^T$$ Cada término de la suma es semidefinido positivo.

En su notación, $T$ es una matriz cuyas columnas son los vectores propios (normalizados) de $A$ El $x_i$ 's.